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Enunciado

Física - Randall D. Knight- Ed: 2º - Capítulo 14.Exercícios e Problemas - Ex. 72

72. Comprove que a expressão para x ( t ) na Equação 14.56 é uma solução da equação de movimento para um oscilador amortecido, a Equação 14.55 , se e somente se a frequência angular ω for dada pela expressão na Equação 14.57 .

Passo 1

Iae mano! É nos de novo em mais um problema sobre oscilações!

E pra não perder tempo... Eis aqui a expressão que teremos que mexer...

d 2 x d t 2 + b m d x d t + k m x = 0     ( E q u a ç ã o   1 )

E essa equação tem solução igual a...

x t = A e - b t / 2 m cos ⁡ ( ω t + ϕ 0 )

Passo 2

Agora se liga só! Vamos tirar a primeira derivada de x ( t ) ... Chamaremos de x ' ( t ) ;

x ' t = d d t x t

x ' t = d d t A e - b t / 2 m cos ⁡ ( ω t + ϕ 0 )

x ' t = cos ⁡ ( ω t + ϕ 0 ) d d t A e - b t / 2 m + A e - b t / 2 m d d t cos ⁡ ( ω t + ϕ 0 )

x ' t = - A b 2 m e - b t 2 m cos ⁡ ω t + ϕ 0 - A ω e - b t / 2 m sen ⁡ ( ω t + ϕ 0 )

E depois, bora pra segunda derivada de x ( t ) , que chamaremos de x ' ' ( t ) ....

x ' ' t = d d t x ' t

x ' ' t = d d t - A b 2 m e - b t 2 m cos ⁡ ω t + ϕ 0 - A ω e - b t / 2 m sen ⁡ ( ω t + ϕ 0 )

x ' ' t = cos ⁡ ω t + ϕ 0 d d t - A b 2 m - A b 2 m d d t e - b t 2 m cos ⁡ ω t + ϕ 0 - A ω e - b t 2 m d d t sen ⁡ ω t + ϕ 0 + sen ⁡ ( ω t + ϕ 0 ) d d t A ω e - b t / 2 m

x ' ' t = A b 2 4 m 2 - A ω 2 cos ⁡ ω t + ϕ 0 + ω A b m sen ⁡ ( ω t + ϕ 0 ) e - b t / 2 m

Passo 3

Em seguida, bora substituir as três expressões que temos na e q u a ç ã o   1 ;

d 2 x d t 2 + b m d x d t + k m x = 0    

x ' ' t + b m x ' t + k m x ( t ) = 0    

A b 2 4 m 2 - A ω 2 cos ⁡ ω t + ϕ 0 + ω A b m sen ⁡ ( ω t + ϕ 0 ) e - b t 2 m + b m - A b 2 m e - b t 2 m cos ⁡ ω t + ϕ 0 - A ω e - b t 2 m sen ⁡ ω t + ϕ 0 + k m A e - b t / 2 m cos ⁡ ( ω t + ϕ 0 ) = 0

A b 2 4 m 2 - A ω 2 cos ⁡ ω t + ϕ 0 e - b t / 2 m + ω A b m sen ⁡ ( ω t + ϕ 0 ) e - b t / 2 m - A b 2 2 m 2 e - b t 2 m cos ⁡ ω t + ϕ 0 - ω A b m sen ⁡ ω t + ϕ 0 e - b t 2 m + k m A e - b t 2 m cos ⁡ ω t + ϕ 0 = 0

- A ω 2 cos ⁡ ω t + ϕ 0 e - b t / 2 m - A b 2 4 m 2 e - b t 2 m cos ⁡ ω t + ϕ 0 + k m A e - b t 2 m cos ⁡ ω t + ϕ 0 = 0

- b 2 4 m 2 - ω 2 + k m cos ⁡ ω t + ϕ 0 = 0

Bem! Em geral, cos ⁡ ω t + ϕ 0 não é igual a zero, a menos que ϕ 0 seja igual a zero.

Em todo caso, uma condição certa para que essa expressão anterior aí de cima dê zero, é que...

- b 2 4 m 2 - ω 2 + k m = 0

Desse modo, isolando o ω :

ω 2 = k m - b 2 4 m 2

ω = k m - b 2 4 m 2

Eureca!!!! Essa é a expressão que estávamos procurando!

Resposta

ω = k m - b 2 4 m 2

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