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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 17.Problemas - Ex. 3

Dois discos de mesmo material estão presos a um eixo como mostrado na figura. O disco A tem raio r e espessura b, enquanto o disco B tem raio n r e espessura 3 b. Um binário M de intensidade constante é aplicado quando o sistema está em repouso e é removido após o sistema realizar duas revoluções. Determinar o valor de n que resulte na maior velocidade final para um ponto na aba do disco B.

Passo 1

E ai gurizada tudo belezinha??? O enunciado pede que a gente determine o valor de n que resulte na maior velocidade final para um ponto na aba do disco B.

Para qualquer disco: m = ρ π r 2 t

Ī = 1 2   m r 2 = 1 2   π ρ t r 4

Passo 2

Momento de Inércia:

Disco A: I A = 1 2   π ρ b r 4

Disco B: I B = 1 2   π ρ ( 3 b ) ( n r ) 4 = 3 n 4 1 2   π ρ b r 4 = 3 n 4   I A

I t o t a l = I A   + I B = 1 + 3 n 4   I A

Passo 3

Energia de trabalho: T 1 = 0                 U 1 → 2 = M θ = M 4 π   r a d

T 2 = 1 2   I t o t a l   ω 2 2

T 1 + U 1 → 2 = T 2 :           0 + M 4 π = 1 2   1 + 3 n 4 Ī A ω 2 2

ω 2 2 = 8   π   M 1 + 3 n 4   I A

Passo 4

Para o ponto D na borda do disco B: v D = n r   ω 2

v D 2 = n 2 r 2 ω 2 2 = 8   π   M r ² I A ∙ n ² 1 + 3 n 4

Valor de n para velocidade final máxima.

Para o máximo: v D :   d d n n ² 1 + 3 n 4 = 0

1 ( 1 + 3 n 4 )   n 2 12 n 3 - 1 + 3 n 4 2 n = 0

12 n 5 - 2 n - 6 n 5 = 0

2 n   3 n 4 - 1 = 0

n = 0               e                 n = ( 1 3 ) 0.25 = 0.7598

Resposta

n = 0.760

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