Duas hastes AC e CE são unidas por um pino em C e por uma mola AE. A constante da mola é k, e a mola está indeformada quando θ = 30 ° . Para o carregamento mostrado na figura, deduza uma equação em P, θ , l e k que deve ser satisfeita quando o sistema está em equilíbrio.

Passo 1

Primeiro vamos entender o problema. Temos duas hastes AC e CE que são conectados por um pino em C e por uma mola AE. Sabemos que a constante da mola é k, e a questão diz que ela não é esticada quando θ = 30 ° .

Logo, precisamos encontrar uma equação em função de P, θ , l e k para derivar satisfazendo o equilíbrio.

Passo 2

Achou um pouco complicado? Vamos destrinchar!

Observe na figura o triângulo Δ A A ' B , o ângulo θ é entre a hipotenusa AB e o cateto A’B. Desse modo:

cos ⁡ θ = A ' B A B

Assumindo que, l = A B e que y e = A ' B , temos:

y e = l c o s   θ

Derivando:

d y e =   - l s i n   θ d θ

Agora observe o triângulo Δ A E C , obtemos que:

sin ⁡ θ = A E / 2 2 l = A E 4 l

Assumindo que, x = A E , temos:

x = 4 l s i n   θ

Derivando,

d x = 4 l c o s   θ d θ

Passo 3

Já estamos quase terminando! Vamos lembrar que a força na mola é dada por:

F = k s

Onde s é o alongamento da mola, logo:

s = A E - 2 l = x - 2 l

Portanto,

F = k ( x - 2 l )

F = k ( 4 l s i n   θ - 2 l )

Passo 4

Pronto! Já temos a relação da força F, então basta utilizarmos o trabalho virtual que encontraremos a equação desejada.

Sabemos que, o trabalho virtual é 0. Ou seja,

d U = 0

E como,

d U = P d y e - F d x

Temos:

P d y e - F d x = 0

Logo,

P - l s i n   θ   d θ - k ( 4 l s i n   θ - 2 l ) 4 l c o s   θ d θ = 0

Isolando, teremos:

- P s i n   θ - 8 k l 2 sin ⁡ θ - 1 cos ⁡ θ = 0

Portanto

P 8 k l = 1 - 2 s i n θ cos ⁡ θ sin ⁡ θ  

Ou,

P 8 k l = 1 - 2 sin ⁡ θ tan ⁡ θ

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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