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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 3.7 - Ex. 157

As duas rodas constituídas de aros e raios de massa desprezível giram em torno de seus respectivos centros e estão suficientemente pressionadas uma a outra de modo a evitar qualquer deslizamento. As massas excêntricas de 1,5   k g e 1   k g estão montadas sobre as bordas das rodas. Se as rodas recebem um leve desvio do repouso na posição de equilíbrio mostrada, calcule a velocidade angular θ ˙ da maior das duas rodas quando esta tiver girado através de um quarto de volta e colocado as massas excêntricas nas posições tracejadas mostradas. Note que a velocidade angular da roda pequena é duas vezes aquela da roda grande. Despreze qualquer atrito no mancal da roda.

Passo 1

Vamos chamar de A a massa de 1,5   k g e de B a massa de 1   k g . Então a variação da energia potencial gravitacional do sistema será:

Δ V = Δ V A + Δ V B = m A g Δ h A + m B g Δ h B

Considerando a altura do centro dos círculos como a altura zero, temos:

Δ V = 1,5 9,81 0 - 0,400 2 + 1 9,81 - 0,200 2 - 0,200 2

Δ V = - 4,905   J

Agora calculamos a variação da energia cinética do sistema, lembrando que, por causa da ligação entre as rodas, as massas têm a mesma velocidade linear:

Δ T = Δ T A + Δ T B = m A 2 v 2 - v 0 2 + m B 2 v 2 - v 0 2

Δ T = 1,5 2 v 2 + 1 2 v 2

Δ T = 1,25 v 2

Passo 2

Usando a conservação de energia mecânica, obtemos:

Δ T + Δ V = 0

1,25 v 2 - 4,905 = 0

v = 1,981   m / s

Porém, lembre-se que a velocidade angular se relaciona com a velocidade linear da seguinte forma:

θ ˙ = v r

Para a roda maior, temos r = 0,400 2   m , então:

θ ˙ = 1,981 0 , 200

θ ˙ = 9,90   r a d / s

Resposta

θ ˙ = 9,90   r a d / s

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