Enunciado

O embolo de 5 kg acionado O bloco quadrado homogêneo de massa m é liberado a partir do repouso com θ quase nulo e gira no ponto médio de sua base em torno da quina fixa em O . Determine e represente graficamente as forças normal e tangencial, expressas nas formas adimensionais N / m g e F / m g , exercidas sobre o bloco pela quina como funções de θ (a). Se um pequeno entalhe em O impede o bloco de deslizar, determine o ângulo θ em que o contato com a quina cessa. (b) Na ausência de um entalhe e com um coeficiente de atrito estático de 0,8 , determine o ângulo θ em que o deslizamento inicia.

Passo 1

Primeiramente é necessário determinar o DCL do corpo em analise, confomer a figura abaixo mostra.

Também é necessário determinar o momento de inercia do bloco para somatório de momentos

I O = 1 12 m b + b 2 + m b 2 2 = 5 12 m b 2  

Passo 2

Realizando o somatório de momentos em relação O afim de eliminar O t   e   O n :

∑ M O = I O α

m g s i n θ b 2   = 5 12 m b 2 α

α = 6 5 9 b s i n ⁡ ( θ )

Além dos somatório de forçao e momentos será necessário uma quarta equação, que é obtida utilizando -se a cinemática, onde α   e   ω podem ser relacionados a θ pela equação:

ω d ω = α d θ

∫ 0 ω ω d ω = ∫ 0 θ α d θ

ω 2 = ∫ 0 θ 6 5 9 b s i n ⁡ ( θ ) d θ

ω 2 = 12 5 9 b ( 1 - cos ⁡ θ ) ⁡

Para os somatório de forças

∑ F t = m a t

m g s i n ( θ ) - F = m b 2 6 5 9 b s i n ⁡ ( θ ) ⁡

F = 2 5 m g sin ⁡ θ

∑ F n = m a n

∑ F n = m r G ω 2

m g c o s θ - N = m b 2 12 5 9 b ( 1 - cos ⁡ θ ) ⁡

N = m g 5 ( 11 cos ⁡ θ ) - 6 )

Passo 3

  1. Para as equações,
  2. F = 2 5 m g sin ⁡ θ

    E,

    N = m g 5 ( 11 cos ⁡ θ ) - 6 )

    Gráfico do comportamento das mesma é

    Quando θ = 56,9 ° a força normal é zero.

  3. Considerando a ausência de um entalhe e com um coeficiente de atrito estático de 0,8

A força de atrito F ,

F = 0,8   N

E utilizando uma analise adimensional temos que,

2 5 m g sin ⁡ θ = 0,8   m g 5 ( 11 cos ⁡ θ - 6 )

2 5 sin ⁡ θ = 0,8 1 5 ( 11 cos ⁡ θ - 6 )

5 sin ⁡ θ = 22 cos ⁡ θ - 12

Utilizando o método de Newton para determinar θ

5 sin ⁡ θ = 22 cos ⁡ θ - 12

θ = 45,1 °

Resposta

As expressões para N m g e F m g são N = 1 5 11 cos ⁡ ( θ ) - 6 e F = 2 5 sin ⁡ θ . Quando θ = 56,9 ° a força normal é zero. E o ângulo em que o deslizamento inicia é θ = 45,1 °

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