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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 100

Uma espaçonave navega ao longo de uma trajetória parabólica em direção ao planeta Júpiter e a expectativa é de que atinja o ponto A com uma velocidade v A de intensidade 26,9   k m / s . Seus motores serão, então, acionados para desacelerá-la, colocando-a em uma órbita elíptica que a levará para até 100 × 10 3   k m de Júpiter. Determine o decréscimo de velocidade Δ v no ponto A que colocará a espaçonave na órbita requerida. A massa de Júpiter é 319 vezes a massa da Terra.

Passo 1

Oi, amigos! Vamos lá para mais um problema!

O enunciado e a figura nos fornecem como dados:

v A = 26,9   k m / s = 26,9 × 10 3   m / s

r A = 350 × 10 3   k m

r B = 100 × 10 3   k m

M J = 319 M T

Nosso dever é determinar o decréscimo de velocidade Δ v no ponto A que colocará a espaçonave na órbita requerida. Vamos inicialmente aplicar o princípio da conservação do momento angular:

r A m v A - Δ v A = r B m v B

v B = r A r B ( 26,9 - Δ v A )

v B = 350 × 10 6 100 × 10 6 v A - Δ v A

v B = 3,5 v A - Δ v A

Passo 2

Calculando a energia cinética e potencial.

Ponto A:

T A = 1 2 m v A - Δ v A 2

Aplicando agora a Eq. 13.17, usada para a energia potencial quando a variação da força da gravidade não pode ser desprezada:

V A = - G M J m r A

O produto G M J , pode ser expresso conforme a Eq. 12,29:

G M J = g R 2

Sabemos que,

G M J = 319 G M T = 319 g R T 2

E sendo

g = 9,81   m / s 2

R T = 6370 × 10 3   m

Substituímos os valores na equação para obtermos G M J :

G M J = 319 g R T 2

G M J = 319 ⋅ 9,81 6370 × 10 3 2

G M J = 126,98 × 10 15   m 3 / s 2

Substituindo em V A :

V A = - G M J m r A

V A = - 126,98 × 10 15 m 350 × 10 6

V A = - ( 362,8 × 10 6 ) m

Ponto B:

T B = 1 2 m v B 2

Aplicando a Eq. 13.17:

V B = - G M J m r B = - ( 126,98 × 10 15 ) m 100 × 10 6

V B = - 1269,8 × 10 6 m

Passo 3

Em posse das energias cinética e potencial, vamos aplicar o princípio da conservação da energia:

T A + V A = T B + V B

1 2 m v A - Δ v A 2 - 362,8 × 10 6 m = 1 2 m v B 2 - 1269,8 × 10 6 m

v A - Δ v A 2 - v B 2 = - 1814 × 10 6

Sabemos que

v B = 3,5 v A - Δ v A

Então,

v A - Δ v A 2 - v B 2 = - 1814 × 10 6

v A - Δ v A 2 - [ 3,5 v A - Δ v A ] 2 = - 1814 × 10 6

v A - Δ v A 2 - 12,25 v A - Δ v A 2 = - 1814 × 10 6

- 11,25 v A - Δ v A 2 = - 1814 × 10 6

v A - Δ v A 2 = 161,244 × 10 6

Consideramos a raiz positiva.

v A - Δ v A = 12,6982 × 10 3

Sabendo que

v A = 26,9 × 10 3   m / s

Encontramos o decréscimo de velocidade Δ v no ponto A que colocará a espaçonave na órbita requerida:

Δ v A = - 12,6982 × 10 3 + 26,9 × 10 3

Δ v A = 14,2 × 10 3   m / s = 14,2   k m / s

Resposta

Δ v A = 14,2   k m / s

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