Se a energia potencial para um sistema conservativo com um grau de liberdade é expressa pela relação V = 3 y 3 + 2 y 2 - 4 y + 50   J , onde y é dado em metros, determine as posições de equilíbrio e investigue a estabilidade em cada posição.

Passo 1

Dada a expressão para a energia potencial V = 3 y 3 + 2 y 2 - 4 y + 50   J , então a posição de equilíbrio é dada pela primeira derivada:

d V d Y = 0 9 y 2 + 4 y - 4 = 0 y = - 4 ± 4 2 - 4 × 9 × - 4 2 × 9 y 1 = 0,48   m y 2 = - 0,92   m

Passo 2

Agora analisaremos a estabilidade. Para a estabilidade, precisamos tomar a segunda derivada:

Para y = 0 , 48   m   :

d 2 V d y 2 = 18 y + 4 = 18 ⋅ 0,48 + 4 = 12,64 > 0 ⇒ e s t á v e l

Para y =   - 0,92   m :

d 2 V d y 2 = 18 y + 4 d 2 V d y 2 = 18 ⋅ - 0,92 + 4 = - 12,56 < 0 ⇒ i n s t á v e l

Resposta

Estável para y = 0,48   m e instável para x = - 0,92   m

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