35- A energia potencial de um sistema mecânico é dada por V = 6 x 3 - 9 x 2 + 7 , onde x é a coordenada de posição associada ao único grau de liberdade. Determine a posição, ou as posições, de equilíbrio e a condição de estabilidade do sistema em cada posição de equilíbrio.

Passo 1

O modelo de equação de energia já foi dado, basta agora saber quando esse sistema tem equilíbrio derivando ela em relação a x e igualar essa derivada a zero..

d V d x = 0

d V d x = 18 x 2 - 18 x + 0

Igualando a zero:

18 x 2 - 18 x = 0

A solução trivial é em x = 0 , pois:

18 × 0 2 - 18 × 0 = 0

E a não trivial nós encontraremos dividindo essa expressão por x (já que ela não pode ser zero), isso nos dá:

18 x - 18 = 0

O que dá x = 1

Logo nossos pontos de equilíbrio são:

x = 0                           x = 1

Passo 2

Para descobrir se esses pontos são estáveis ou instáveis basta aplicar esse ponto na segunda derivada da função, para isso vamos derivar a nossa primeira derivada.

d 2 V d x 2 = d ( 18 x 2 - 18 x ) d x

d 2 V d x 2 = 36 x - 18

Aplicando x = 0 nessa expressão encontramos:

d 2 V d x 2 ( 0 ) = - 18

Por ter dado um número negativo ele é instável.

Agora para x = 1 :

d 2 V d x 2 1 = 36 - 18 = 18

Por ter dado um número positivo ele será estável.

Resposta

x = 0 → i n s t á v e l

x = 1 → e s t á v e l

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