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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 107

Uma esfera de alumínio sólido de raio de 3 pol. É soldada à extremidade de uma haste AB de 6 pol. De comprimento de massa desprezível, que é suportada por uma junta de esfera e encaixe em A. Sabendo que a esfera é observada precessão em torno de um eixo vertical na taxa constante de 60 rpm no sentido indicado e que a haste AB forma um ângulo β = 30° com a vertical, determine a taxa de rotação da esfera em torno da linha AB.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a taxa de rotação da esfera em torno da linha AB.

Use eixos principais x, y, z com origem em A

Velocidade angular

ω = φ ˙ s i n ⁡ β i + ( ψ ˙ - φ ˙ c o s ⁡ β ) k ω x = φ ˙ s i n ⁡ β , ω y = 0 , ω z = ψ ˙ - φ ˙ c o s ⁡ β

Momento angular sobre A

H A = I x ω x i + I y ω y j + I z ω z k = I ' φ ˙ s i n ⁡ β i + I ( ψ ˙ - φ ˙ c o s ⁡ β ) k

Passo 2

Deixe referência do quadro Axyz rodar com velocidade angular Ω = φ ˙ s i n ⁡ β i - φ ˙ c o s ⁡ β k

H ˙ A = Ω × H A = - φ ˙ l ψ ˙ s i n ⁡ β + I ' - I φ ˙ s i n ⁡ β c o s ⁡ β j

Σ M A = H ˙ A - m g c s i n ⁡ β j = - φ ˙ I ψ s i n ⁡ β + l ' - l φ ˙ s i n ⁡ β c o s ⁡ β j

m g c = I φ ˙ ψ ˙ + l ' - I φ ˙ 2 c o s ⁡ β I φ ˙ ψ ˙ m g c + l ' - I φ ˙ 2 c o s ⁡ β m g c - 1 = 0 (1)

Passo 3

Dados

r = 3 i n = 0.25 f t c = 6 i n + 3 i n = 9 i n , = 0.75 f t g = 32.2 f t / s 2

I m = 2 5 r 2 = 2 5 ( 0.25 ) 2 = 0.0251 b ⋅ s 2 ⋅ f t I ' m = 2 5 r 2 + c 2 = 0.025 + ( 0.75 ) 2 = 0.5875 l b ⋅ s 2 ⋅ f t β = 30 ∘ , φ ˙ = 60 r p m = 6.2832 r a d / s

Passo 4

Substituindo na eq(1)

( 0.025 ) ( 6.2832 ) ψ ˙ ( 32.2 ) ( 0.75 ) + ( 0.5625 ) ( 6.2832 ) 2 c o s ⁡ 30 ∘ ( 32.2 ) ( 0.75 ) - 1 = 0

6.5043 × 10 - 3 ψ ˙ + 0.79633 - 1 = 0

ψ ˙ = 31.312 r a d / s

ψ ˙ ˙ = 299 r p m

Resposta

ψ ˙ ˙ = 299 r p m

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