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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 100

Para o sistema do Problema 18.99, mostre que (a) a reação dinâmica em D é independente do comprimento 2a do painel, (b) a razão M1 / M2 das magnitudes dos pares exercidos pelos motores em A e C, respectivamente, é independente das dimensões e massa do painel e é igual a ω2 / 2ω1 em qualquer dado instante.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a) a reação dinâmica em D é independente do comprimento 2a do painel, (b) a razão M1 / M2 das magnitudes dos pares exercidos pelos motores em A e C,

Use eixos principais x’ e y’ como mostrado

Momentos de inércia

I - x ' = 1 3 m a 2 + b 2 I - y ' = 1 3 m a 2 , I - z ' = 1 3 m b 2

Cinemática θ ˙ = ω 1

ω x ' = ω 2 s i n ⁡ θ , ω y ' = ω 2 c o s ⁡ θ , ω z ' = ω 1 ω ˙ x ' = ω 1 ω 2 c o s ⁡ θ , ω ˙ y ' = - ω 1 ω 2 s i n ⁡ θ , ω ˙ z ' = 0

Passo 2

Equação de Euller para movimento do plano

Σ M x ' = I ~ x ' ω ˙ x ' - I - y ' - I - z ' ω y ' ω z '

= I - x ω 1 ω 2 c o s ⁡ θ - I - y ' - I - x ' ω 1 ω 2 c o s ⁡ θ = I - x ' + I - z - I → y ' ω 1 ω 2 c o s ⁡ θ = 2 3 m b 2 ω 1 ω 2 c o s ⁡ θ

∑ M y ' = I - y ' ω ˙ y ' - I x ' ¯ - I x → ω x ' ω z '

= - I - y ω 1 ω 2 s i n ⁡ θ - I - z - I - x ω 1 ω 2 s i n ⁡ θ = I - x ' - I - y ' - I z ¯ a 1 ω 2 s i n ⁡ θ = 0

Σ M z ' = I z ' ω ˙ z - I - x ' - I - y ω x ' ω y '

= 0 - I - x ' - I - y ω 2 2 s i n ⁡ θ c o s ⁡ θ = - 1 3 m b 2 ω 2 2 s i n ⁡ θ c o s ⁡ θ

Σ M = 2 3 m b 2 ω 1 ω 2 c o s ⁡ θ i ' - 1 3 m b 2 ω 2 2 s i n ⁡ θ c o s ⁡ θ = 2 3 m b 2 a ω 2 c o s ⁡ θ ( c o s ⁡ θ i + s i n ⁡ θ j ) - 1 3 m b 2 ω 2 2 s i n ⁡ θ c o s ⁡ θ k

Resolva nos componentes

∑ M x = 2 3 m b 2 ω 1 ω 2 c o s 2 ⁡ θ Σ M y = 2 3 m b 2 ω 1 ω 2 s i n ⁡ θ c o s ⁡ θ Σ M z = - 1 3 m b 2 a 2 2 s i n ⁡ θ c o s ⁡ θ

Passo 3

(a) com M D = Σ M , que é independente da dimensão 2 a

(b) M 2 = ∑ M z = 2 3 m b 2 ω 1 ω 2 s i n ⁡ θ c o s ⁡ θ M 1 = Σ M y = 1 3 m b 2 ω 2 2 s i n ⁡ θ c o s ⁡ θ

razão  M 1 M 2 = ω 2 2 ω 1 .

Resposta

a M D = Σ M

(b)  razão  M 1 M 2 = ω 2 2 ω 1 .

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