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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 14.Problemas - Ex. 93

Uma espaçonave que descreve uma órbita circular em torno da Terra a uma velocidade de 24 × 10 3   k m / h libera sua cápsula frontal de 600   k g de massa bruta que inclui 400   k g de combustível. Sabendo que o combustível é consumido à taxa de 18   k g / s e ejetado com uma velocidade relativa de 3.000   m / s , determine ( a ) a aceleração tangencial da cápsula quando seu motor é acionado, ( b ) a velocidade máxima atingida pela cápsula.

Passo 1

Fala aí, galerinha. Tudo certo? Bora para mais uma questãozinha de Dinâmica. Primeiro, temos que determinar a aceleração tangencial da cápsula quando seu motor é acionado.

Para isso, vamos utilizar a relação de empuxo que retarda o movimento deste sistema. Ela é dada por:

P = d m d t u

Substituindo:

P = ( 18   k g / s ) ( 3000   m / s ) P = 54 × 10 3   N

Com isso, podemos encontrar a aceleração tangencial no instante inicial. Ela pode ser encontrada pela seguinte equação:

a t 0 = P m 0 = 54 × 10 3   600 a t 0 = 90   m / s 2

Passo 2

Em seguida, devemos calcular a velocidade máxima atingida pela cápsula. Sabemos que ela é definida por:

v 1 = v 0 + ∫ 0 t 1 a t d t

Como a aceleração tangencial pode ser relacionada ao empuxo P , temos:

v 1 = v 0 + ∫ 0 t 1 P m d t = v 0 + ∫ 0 t 1 u d m d t m d t v 1 = v 0 + u ∫ m 0 m 1 - d m m v 1 = v 0 + u - ln ⁡ m 1 m 0 = v 0 + u ln ⁡ m 0 m 1  

Agora que encontramos a relação para determinarmos a velocidade, basta substituirmos pelos dados que a gente já tem. Fica assim:

v 1 = 24 × 10 3 k m / h + 3000   m / s ln ⁡ 600   k g 600 - 400   k g v 1 = 35,9 × 10 3   k m / h

É isso, galerinha. Bora praticar mais pra ficar craque!

Resposta

a t 0 = 90   m / s 2

v 1 = 35,9 × 10 3   k m / h

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