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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 2.7 - Ex. 183

A estrutura de base da escada de um carro de bombeiros gira em torno de um eixo vertical através de O com uma velocidade angular constante Ω = 10   g r a u s / s . Ao mesmo tempo, a unidade da escada O B se eleva a uma taxa constante ϕ ˙ = 7   g r a u s / s , e a seção A B da escada se prolonga de dentro da seção O A na taxa constante de 0,5   m / s . No instante em questão, ϕ = 30 ° , O A - = 9   m e A B - = 6   m . Determine o módulo da velocidade e da aceleração da extremidade B da escada.

Passo 1

Pensando em coordenadas esféricas, o enunciado nos deu os seguintes dados:

R =   O A - + A B - = 9 + 6 = 15   m

R ˙ =   O A - ˙ = 0 , 5   m / s

R ¨ = 0

ϕ = 30 °

ϕ ˙ = 7 π 180 = 0,122   r a d / s

ϕ ¨ = 0

θ ˙ = Ω = 1 0 π 180 = 0,1745   r a d / s

θ ¨ = 0

Agora lembre-se de que as componentes da velocidade em coordenadas esféricas são dadas assim:

v R = R ˙                     v θ = R θ ˙ cos ⁡ ϕ                     v ϕ = R ϕ ˙

Então:

v R = 0 , 5   m / s

v θ = 15 0 , 1745 cos ⁡ 30 ° = 2,27   m / s

v ϕ = 15 0,1 22 = 1,83   m / s

Logo, o módulo da velocidade será:

v = v R 2 + v θ 2 + v ϕ 2 = 0 , 5 2 + 2,27 2 + 1 , 8 3 2

v = 2,96   m / s

Passo 2

Show! Agora vamos lembrar que as componentes da aceleração em coordenadas esféricas são dadas assim:

a R = R ¨ - R ϕ ˙ 2 - R θ ˙ 2 cos 2 ⁡ ϕ

a θ = cos ⁡ ϕ R d d t R 2 θ ˙ - 2 R θ ˙ ϕ ˙   s e n   ϕ

a ϕ = 1 R d d t R 2 ϕ ˙ + R θ ˙ 2   s e n   ϕ cos ⁡ ϕ  

Começamos calculando a R :

a R = 0 - 1 5 0 , 122 2 - 15 0 , 1745 2 cos 2 ⁡ 30 °

a R = - 0,566   m / s 2

Para calcular a θ , usamos a regra do produto para a derivada:

a θ = cos ⁡ ϕ R 2 R R ˙ θ ˙ + R 2 θ ¨ - 2 R θ ˙ ϕ ˙   s e n   ϕ

a θ = 2 R ˙ θ ˙ cos ⁡ ϕ + R θ ¨ cos ⁡ ϕ - 2 R θ ˙ ϕ ˙   s e n   ϕ

a θ = 2 0 , 5 0 , 1745 cos ⁡ 30 ° + 15 0 cos ⁡ 30 ° - 2 15 0 , 1745 0,1 22   s e n   30 °

a θ = - 0,168   m / s 2

Passo 3

Para calcular a ϕ , utilizamos novamente a regra do produto para a derivada presente na expressão:

a ϕ = 1 R d d t R 2 ϕ ˙ + R θ ˙ 2   s e n   ϕ cos ⁡ ϕ  

a ϕ = 1 R 2 R R ˙ ϕ ˙ + R 2 ϕ ¨ + R θ ˙ 2   s e n   ϕ cos ⁡ ϕ

a ϕ = 2 R ˙ ϕ ˙ + R ϕ ¨ + R θ ˙ 2   s e n   ϕ cos ⁡ ϕ

a ϕ = 2 0 , 5 0,1 22 + 15 0 + 15 0 , 1745 2   s e n   30 ° cos ⁡ 30 °

a ϕ = 0,32   m / s 2

Portanto, o módulo da aceleração será:

a = a R 2 + a θ 2 + a ϕ 2 = - 0 , 566 2 + - 0 , 168 2 + 0,3 2 2

a = 0,672   m / s 2

Resposta

v = 2,96   m / s

a = 0,672   m / s 2

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