Em um teste de projeto de um mecanismo atuador para uma antena telescópica de uma espaçonave, o eixo de apoio gira em torno do eixo fixo z com uma velocidade angular θ ˙ . Determine as componentes R , θ e ϕ da aceleração a da extremidade da antena no instante em que L = 1,2   m e β = 45 ° se as taxas θ ˙ = 2   r a d / s , β ˙ = 3 2 r a d / s e L ˙ = 0,9   m / s são constante durante o movimento.

Passo 1

Pensando em coordenadas esféricas, o enunciado nos deu os seguintes dados:

R = L = 1 , 2   m

R ˙ = L ˙ = 0 , 9   m / s

R ¨ = 0

ϕ = 90 ° - β = 90 ° - 45 ° = 45 °

ϕ ˙ = - β ˙ = - 1,5   r a d / s

ϕ ¨ = 0

θ ˙ = 2   r a d / s

θ ¨ = 0

Agora vamos lembrar que as componentes da aceleração em coordenadas esféricas são dadas assim:

a R = R ¨ - R ϕ ˙ 2 - R θ ˙ 2 cos 2 ⁡ ϕ

a θ = cos ⁡ ϕ R d d t R 2 θ ˙ - 2 R θ ˙ ϕ ˙   s e n   ϕ

a ϕ = 1 R d d t R 2 ϕ ˙ + R θ ˙ 2   s e n   ϕ cos ⁡ ϕ  

Passo 2

Começamos calculando a R :

a R = R ¨ - R ϕ ˙ 2 - R θ ˙ 2 cos 2 ⁡ ϕ = 0 - 1,2 - 1,5 2 - 1,2 2 2 cos 2 ⁡ 45 °

a R = - 5,1 0   m / s 2

No cálculo de a θ , usamos a regra do produto para a derivada presente na expressão:

a θ = cos ⁡ ϕ R 2 R R ˙ θ ˙ + R 2 θ ¨ - 2 R θ ˙ ϕ ˙   s e n   ϕ

a θ = 2 R ˙ θ ˙ cos ⁡ ϕ + R θ ¨ cos ⁡ ϕ - 2 R θ ˙ ϕ ˙   s e n   ϕ

a θ = 2 0 , 9 2 cos ⁡ 45 ° + 1 , 2 0 cos ⁡ 45 ° - 2 1 , 2 2 - 1,5   s e n   45 °

a θ = 7,64   m / s 2

Passo 3

Para calcular a ϕ , utilizamos novamente a regra do produto para a derivada presente na expressão:

a ϕ = 1 R d d t R 2 ϕ ˙ + R θ ˙ 2   s e n   ϕ cos ⁡ ϕ  

a ϕ = 1 R 2 R R ˙ ϕ ˙ + R 2 ϕ ¨ + R θ ˙ 2   s e n   ϕ cos ⁡ ϕ

a ϕ = 2 R ˙ ϕ ˙ + R ϕ ¨ + R θ ˙ 2   s e n   ϕ cos ⁡ ϕ

a ϕ = 2 0 , 9 - 1,5 + 1 , 2 0 + 1 , 2 2 2   s e n   45 ° cos ⁡ 45 °

a ϕ = - 0,30   m / s 2

Resposta

a R = - 5,10   m / s 2

a θ = 7,64   m / s 2

a ϕ = - 0,30   m / s 2

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