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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 6.6 - Ex. 122

A estrutura quadrada é composta por quatro hastes esbeltas, cada uma de massa m e comprimento b . A estrutura está girando em seu plano com uma velocidade angular ω . Determine a velocidade linear v do centro C , que fará a energia cinética de translação igual à energia cinética de rotação.

Passo 1

Vamos começar encontrando uma expressão para o momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo ponto C .

O sistema é composto por quatro hastes esbeltas iguais, então vamos escrever esse momento de inércia da seguinte forma:

I C = 4 I h a s t e

Onde o momento de inércia de cada haste pode ser escrito com o teorema dos eixos paralelos:

I h a s t e = I c m + m d 2

I h a s t e = 1 12 m b 2 + m b 2 2 = 4 12 m b 2

Então:

I C = 4 4 12 m b 2 = 16 12 m b 2 = 4 3 m b 2

Passo 2

E então a energia cinética de rotação fica da seguinte forma:

T r o t = 1 2 I C ω 2 = 1 2   4 3 m b 2 ω 2

T r o t = 2 3 m b 2 ω 2

E para a energia cinética de translação:

T t r a n s = 1 2 4 m v 2 = 2 m v 2

O que queremos saber é a velocidade v que permite a seguinte igualdade:

T t r a n s = T r o t

2 3 m b 2 ω 2 = 2 m v 2

v = b ω 3

Resposta

Essa igualdade acontece quando v = b ω / 3 .

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