A extremidade A da haste rígida está limitada a se deslocar na direção x enquanto a extremidade B está limitada a se deslocar ao longo do eixo z . Determine a componente ω n normal a A B da velocidade angular da haste quando passa pela posição mostrada com v A = 0.3   m / s .

Passo 1

Temos uma barra que é limitada a se deslocar em direções especificas. Para descobrirmos qual é sua velocidade angular normal ω n iremos usar a relação para velocidade relativa de um ponto e outras considerações de produto escalar e vetorial.

Passo 2

Vamos inicialmente considerar que a barra do problema não fosse limitada em nenhuma de suas direções. Mantendo o ponto A fixo, teríamos que a barra formaria uma esfera que segue a seguinte equação:

x 2 + y 2 + z 2 = l 2

Onde l é o tamanho da barra. Se derivarmos essa equação, chegamos que

2 ⋅ x ⋅ x ˙ + 2 ⋅ y ⋅ y ˙ + 2 ⋅ z ⋅ z ˙ = 0

Agora, usando as limitações que a barra tem, temos que y ˙ = 0 , pois a barra não se desloca na direção y . Assim, chegamos que a velocidade na direção z será

z ˙ = - x ⋅ x ˙ z

Precisamos agora descobrir qual o tamanho da barra na componente z . Usando Pitágoras, chegamos que z = l 2 - O B - = 0.7 2 - 0.3 2 - 0.2 2   m = 0.6   m . Substituindo os valores na equação de z ˙ , chegamos que:

z ˙ = - 0.2 ⋅ - 0.3 0.6 = 1   m / s

Usando a relação da velocidade relativa, temos que

v B = v A + ω n × r B A

v B = - 0.3 ⋅ i ^ + 0.6 ⋅ ω y + 0.3 ⋅ ω z ⋅ i ^ - 0.6 ⋅ ω x + 0.2 ⋅ ω z ⋅ j ^ + - 0.3 ⋅ ω x + 0.2 ⋅ ω y ⋅ k ^

Mas temos mais uma informação muito importante: como ω n é um vetor normal, temos então que ω n ⋅ r B A = - 0.2 ⋅ ω x - 0.3 ⋅ ω y + 0.6 ⋅ ω z = 0 .

Vemos também que v B terá apenas uma componente, que será z ˙ . Assim, temos que:

z ˙ = 1   m / s = - 0.3 ⋅ ω x + 0.2 ⋅ ω y

y ˙ = 0 = 0.6 ⋅ ω x + 0.2 ⋅ ω z

x ˙ = 0.3   m / s = 0.6 ⋅ ω y + 0.3 ⋅ ω z

Manipulando, temos que

ω z = - 0.3 ⋅ ω x

ω y = 1 + 0.3 ⋅ ω x

Substituindo os valores, chegamos que

ω x = - 3 49   r a d / s

ω y = 20 49   r a d / s

ω z = 9 49   r a d / s

Chegando assim que ω n = 1 49 ⋅ - 3 ⋅ i ^ + 20 ⋅ j ^ + 9 ⋅ k ^   r a d / s

Resposta

ω n = 1 49 ⋅ - 3 ⋅ i ^ + 20 ⋅ j ^ + 9 ⋅ k ^   r a d / s

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