Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 55
As extremidades do vaso de pressão cilíndrico são fechadas com tampas semiesféricas para reduzir a tensão de flexão que ocorreria se as tampas fossem planas. As tensões de flexão nas linhas de junção entre as tampas e o corpo podem ser eliminadas com a escolha adequada das espessuras e das tampas e do cilindro, respectivamente. Isso requer que a expansão radial seja a mesma para o cilindro e para as semiesferas. Mostre que essa relação é . Considere que o vaso é feito do mesmo material e que ambos, cilindro e semiesferas, têm o mesmo raio interno. Se a espessura do cilindro for , qual será a espessura exigida para as semiesferas? Considere .
Passo 1
Vamos lá!!
O vaso de pressão da questão consiste em duas regiões, uma cilíndrica e outra semiesférica, portanto, teremos tensões diferentes em cada uma dessas regiões. E para termos a mesma expansão radial em ambos os seguimentos, o no cilindro tem que ser igual a um na região semiesférica.
Dados fornecidos:
Para a região cilíndrica:
Região semiesférica:
Agora nos resta determinar quais são as deformações provenientes dessas tensões. Para isso utilizaremos essas equações:
Passo 2
Agora partiremos para a análise das tensões.
Região cilíndrica:
Ao isolarmos um elemento de volume na casca do vaso de pressão cilíndrico temos que é tensão normal que atua na direção circunferencial e é a tensão normal que atua no sentido longitudinal ou axial do vaso.
Por isso podemos definir como:
Sendo assim temos que o aumento do raio interno do cilindro é:
A região semiesférica segue o mesmo raciocínio da região cilíndrica só com a diferença que , teremos então:
Sendo assim temos que o aumento do raio interno da semiesfera é:
Passo 3
Para não existir tensões de flexão nas linhas de junção o valor de do cilindro deve ser o mesmo do das semiesferas.
Manipulando a equação para obter a relação exigida pela questão, .
Com um valor de e .