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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 91

(a) Fazendo r = R + y no segundo membro à direita da E q .   ( 13.17 ’ ) e expandindo-o em uma série de potências de y R , mostre que a expressão na E q .   ( 13.16 ) para a energia potencial V g devido à gravidade é uma aproximação de primeira ordem para a expressão dada na E q .   ( 13.17 ’ ) . (b) Usando a mesma expansão, deduza uma aproximação de segunda ordem para V g .

Passo 1

Olá, tudo bem com você? Vamos lá resolver esse problema!

Inicialmente, vamos verificar qual a E q .   ( 13.16 ) . Nela temos a função da energia potencial do corpo em relação à força da gravidade W , representada por V g .

U 1 → 2 = V g 1 - V g 2

Com

V g = W y

Escrevemos agora a E q .   ( 13.17 ’ ) ,

V g = - W R 2 r

O enunciado pede que façamos r = R + y na E q .   ( 13.17 ’ ) para mostrar que a expressão na E q .   ( 13.16 ) é uma aproximação de primeira ordem dela. Fazendo o que se pede, temos:

V g = - W R 2 ( R + y )

V g = - W R 2 R ( 1 + y R )

V g = - W R ( 1 + y R )

A qual, escrevendo na forma de potência, fica

V g =   - W R 1 + y R - 1

Passo 2

O próximo passo é expandi-lo em uma série de potências de y R :

V g =   - W R 1 + - 1 1 y R + - 1 - 2 1 ⋅ 2 y R 2 + …  

Portanto,

V g = - W R - y R + y R 2 + …

V g = W R y R - y R 2 + …

Passo 3

Fazendo uma aproximação de primeira ordem, temos:

V g = W R y R = W y

resultado este, que está conforme a E q .   ( 13.16 ) .

E, na aproximação de segunda ordem:

V g = W R y R - y R 2

V g = W R y R - W R y 2 R 2

Portanto,

V g = W y - W y 2 R

Resposta

a )   V g = W R y R = W y

b )   V g = W y - W y 2 R

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