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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 6.6 - Ex. 115

A haste delgada de massa m e comprimento l possui uma partícula (raio desprezível, massa 2 m ) presa a sua extremidade. Se o corpo é liberado a partir do repouso quando está na posição mostrada, determine a sua velocidade angular no instante em que passa pel posição vertical.

Passo 1

Vamos começar calculando o momento de inércia da haste em relação ao ponto O , em torno do qual o sistema vai girar.

Para isso vamos precisar do teorema dos eixos paralelos:

I O h a s t e = I c m + m d 2

I O h a s t e = 1 12 m l 2 + m l 4 2

I O h a s t e = 1 12 m l 2 + 1 16 m l 2

E agora vamos somar a isso o momento de inércia da massa presa na sua extremidade:

I O = 1 12 m l 2 + 1 16 m l 2 + 2 m 3 l 4 2

I O = 61 48 m l 2

Passo 2

Agora vamos aplicar a lei de conservação de energia entre dois instantes: o ponto de partida e o instante em que a haste pela posição vertical.

T 1 + V 1 = T 2 + V 2

Como o sistema parte do repouso, temos T 1 = 0 :

V 1 = T 2 + V 2

E vamos definir o zero da energia potencial como a altura do ponto O , então V 1 = 0 :

0 = T 2 + V 2

Quando a barra estiver na vertical, a massa 2 m estará a uma altura 3 l 4 abaixo do ponto O , e o centro de massa da haste estará a uma altura l 4 abaixo do ponto O então:

V 2 = - m g 2 3 l 4 + l 4 = - 7 4 m g l

Então:

T 2 = 7 4 m g l

1 2 I ω 2 = 7 4 m g l

1 2 61 48 m l 2 ω 2 = 7 4 m g l

ω 2 = ( 7 ) ( 48 ) ( 2 ) ( 4 ) ( 61 ) g l

ω = 1,660   g l

Resposta

A sua velocidade angular será ω = 1,660   g / l .

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