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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 128

Um foguete está em órbita circular em torno da Terra a uma altitude de h = 4 Mm. Determine o incremento mínimo na velocidade escalar que ele deve ter a fim de escapar do campo gravitacional da Terra.

Passo 1

O enunciado nos diz que:

O foguete está em uma órbita circular em torno da Terra;

Altitude h = 4   M m = 4 10 6 m .

Devemos determinar o incremento mínimo de velocidade escalar para que o foguete escape do campo gravitacional da Terra

Para escapar do campo gravitacional da Terra, sua nova trajetória deve ser parabólica, conforme a ilustração abaixo.

Uma trajetória parabólica possui excentricidade e = 1 e velocidade de lançamento inicial (velocidade de escape) igual a:

v e = 2 G M e r 0

Suponha que o raio da Terra é 6378 km;

A massa da Terra é de M e = 5,976(1024) kg;

A massa do Sol é de M s = 1 ,99(1030) kg;

A constante gravitacional é de G = 66,73 10 - 12   m 3 / ( k g   s 2 ) .

Raio da Terra: r T = 6378   k m

Portanto,

r 0 = h + r T = 4 10 6 + 6378 10 3 = 10,378 10 6   m

Passo 2

A velocidade escalar v c exigida para que um corpo mantenha uma trajetória circular em torno da Terra é dada pela equação 13.25:

v c = G M e r 0

v c = 66,73 ( 10 - 12 ) ( 5,976 ) ( 10 24 ) 10,378 10 6 = 6198,82   m / s

Sabemos que a velocidade de escape para uma trajetória parabólica é dada por:

v e = 2 G M e r 0

v e = 2 ( 66,73 ) ( 10 - 12 ) ( 5,976 ) ( 10 24 ) 10,378 10 6 = 8766,46   m / s

Logo, o incremento de velocidade será igual a

∆ v = v e - v c

∆ v = 8766,46   - 6198,82 = 2567,6   m / s

∆ v = 2,57   k m / s

Resposta

∆ v = 2,57   k m / s

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