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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 84

A força F = x i + y j + z k x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 age sobre uma partícula P x , y , z que se move no espaço. (a) Usando a relação deduzida no Problema 13.79, mostre que essa força é uma força conservativa. (b) Determine a função potencial associada a F .

Passo 1

Podemos escrever que:

F x = x x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

Com relação a y , temos:

F y = y x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

E com relação a z , temos:

F z = z x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

Vamos realizar as derivações para saber se a força é conservativa.

Passo 2

Derivando F x com relação a y , temos que:

∂ F x ∂ y = - x 3 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2 - 1 2 y x 2 + y 2 + z 2 3

∂ F x ∂ y = - 3 x y x 2 + y 2 + z 2 1 / 2 x 2 + y 2 + z 2 3

Derivando F y com relação a x , temos:

∂ F y ∂ x = - y 3 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2 - 1 2 x x 2 + y 2 + z 2 3

∂ F y ∂ x = - 3 x y x 2 + y 2 + z 2 1 / 2 x 2 + y 2 + z 2 3

Portanto:

∂ F x ∂ y = ∂ F y ∂ x

Se derivarmos F y com relação a z e F z com relação a y , teremos:

∂ F y ∂ z = ∂ F z ∂ y = - 3 y z x 2 + y 2 + z 2 1 / 2 x 2 + y 2 + z 2 3

Analogamente, se derivarmos F z com relação a x e F x com relação a z , teremos:

∂ F z ∂ x = ∂ F x ∂ z = - 3 x z x 2 + y 2 + z 2 1 / 2 x 2 + y 2 + z 2 3

Logo a força é conservativa.

Passo 3

Para o item (b), queremos a função potencial. Sabemos que:

F x = - ∂ v ∂ x

Logo:

d v = - x x 2 + y 2 + z 2 3 2   d x

Temos que integrar este termo para encontrar nossa função v , temos que:

v = ∫ - x x 2 + y 2 + z 2 3 2   d x

Substituindo x 2 + y 2 + z 2 por u , temos que:

d u = 2 x d x

Logo:

v = 1 2 ∫ - 1 u 3 2   d u

v = u - 1 2

Logo:

v = 1 x 2 + y 2 + z 2 1 2

Resposta

a )   A   f o r ç a   é   c o n s e r v a t i v a

b ) v = 1 x 2 + y 2 + z 2 1 2

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