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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 81

Uma força F age sobre uma partícula P x , y que se move no plano x y . Determine se a força F é uma força conservativa e calcule o trabalho de F quando P descreve a trajetória no sentido horário A , B , C , A de acordo com o quanto de círculo x 2 + y 2 = a 2 , se (a) F = k y i , (b) F = k y i + x j .

Passo 1

Para o item a) temos que:

F = k y i

Portanto:

F x = k y

F y = 0

Derivando F x com relação a y , temos que:

∂ F x ∂ y = k

Derivando F y com relação a x , temos:

∂ F y ∂ x = 0

Portanto:

∂ F x ∂ y ≠ ∂ F y ∂ x

Logo F não é conservativa para o item (a).

Passo 2

O trabalho realizado por esta força sobre o caminho é dado por:

U A B C A = ∫ A B k y i ⋅ d y j + ∫ B C k y i ⋅ d x i + d y j + ∫ C A k y i ⋅ d x j  

Para ∫ A B k y i ⋅ d y j e ∫ A B k y i ⋅ d y j já sabemos que estas integrais são nulas, pois os vetores são perpendiculares.

Logo:

U A B C A = ∫ B C k y i ⋅ d x i

Temos que:

x 2 + y 2 = a 2

y = a 2 - x 2

Logo:

U A B C A = ∫ 0 a k a 2 - x 2 d x

Essa integral vale:

U A B C A = π k a 2 4

Passo 3

Para o item (b), temos que:

F = k y i + x j

Portanto:

F x = k y

F y = k x

Derivando F x com relação a y , temos que:

∂ F x ∂ y = k

Derivando F y com relação a x , temos:

∂ F y ∂ x = k

Portanto:

∂ F x ∂ y = ∂ F y ∂ x

Logo F é conservativa para o item (b).

Como a força é conservativa, e A B C A é um ciclo, temos que U A B C A = 0 .

Resposta

  1. F o r ç a   n ã o   c o n s e r v a t i v a U A B C A = π k a 2 4

  2. F o r ç a   c o n s e r v a t i v a U A B C A = 0
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