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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 118

Usando as respostas obtidas no Problema 13.107, mostre que a órbita circular pretendida e a órbita elíptica resultante interceptam-se nas extremidades do eixo menor da órbita elíptica.

Passo 1

Fala aí, pessoal. Beleza? Bora fazer mais uma questão de Dinâmica. Se o ponto de intersecção P 0   das órbitas circulares e elípticas estiver no final do eixo menor, então   v 0   é paralelo ao eixo maior. este será o caso apenas se α + 90   ° = θ 0 , ou seja, se cos ⁡ θ 0   = - sin ⁡ α   . Devemos, portanto, provar que:

cos ⁡ θ 0 = - sin ⁡ α         ( 1 )

Sabemos que:

1 r = G M h 2 + C cos ⁡ θ         ( 2 )

Quando θ = 0 , temos:

r = r m i n = r 0 1 - sin ⁡ α    

Substituindo:

1 r 0 1 - sin ⁡ α = G M h 2 + C         ( 3 )

Já para θ = 180 ° :

r = r m a x = r 0 1 + sin ⁡ α 1 r 0 1 - sin ⁡ α = G M h 2 - C         ( 4 )

Em seguida, vamos somar as equações 3 e 4 e então, dividir pela equação 2 . Fica assim:

G M h 2 = 1 2 r 0 1 1 - sin ⁡ α + 1 1 + sin ⁡ α G M h 2 = 1 r 0 cos 2 ⁡ α

E então, subtraindo a equação ( 4 ) pela 3 e após, dividindo o resultado pela equação ( 2 ) , temos:

C = 1 2 r 0 1 1 - sin ⁡ α + 1 1 + sin ⁡ α C = sin ⁡ α r 0 cos 2 ⁡ α

Substituindo G M h 2 e C na equação ( 2 ) , temos:

1 r = 1 r 0 cos 2 ⁡ α 1 + sin ⁡ α ∙ cos ⁡ θ

Por fim, vamos reescrever r   como r 0 e θ como θ 0 na relação que encontramos aqui em cima. Com isso, vamos apenas fazer algumas manipulações algébricas:

cos 2 ⁡ α = 1 + sin ⁡ α ∙ cos ⁡ α cos ⁡ θ 0 = cos 2 ⁡ α - 1 sin ⁡ α cos ⁡ θ 0 = - sin ⁡ α

Opa, isso prova que a nossa proposição inicial estava correta.

É isso, galerinha. Conseguimos provar o que o enunciado nos pediu. Bora praticar mais!

Resposta

cos ⁡ θ 0 = - sin ⁡ α

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