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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 17.Problemas de Revisão - Ex. 146

Uma grande esfera de 3 lb com raio r = 3 pol. é lançada em uma cesta de luz no final de uma haste fina e uniforme pesando 2 lb e comprimento L = 10 pol. conforme mostrado. Imediatamente antes do impacto, a velocidade angular da haste é de 3 radis no sentido anti-horário e a velocidade da esfera é de 2 pés / s para baixo. Suponha que a esfera gruda na cesta. Determine após o impacto (a) a velocidade angular da barra e da esfera, (b) os componentes das reações em A

Passo 1

Deixe o ponto G ser o centro de massa da esfera e o ponto C ser da haste AB

Haste AB

W A B = 2 l b , m A B = 2 32.2 = 0.06211 l b ⋅ s 2 / f t

I A B = 1 12 m p L 2 = 1 12 ( 0.06211 ) 10 12 2 = 0.003594 l b ⋅ s 2 ⋅ f t

Esfera

W S = 3 l b m S = 3 32.2 = 0.09317 l b ⋅ s 2 / f t

I G = 2 5 m S r 2 = 2 5 ( 0.09317 ) 3 12 2 = 0.002329 t b ⋅ s 2 ⋅ f t

Passo 2

Impacto. Antes do impacto, a barra AB está girando em torno de A com velocidade angular ω 0 = a 0 ω 0 = 3 r a d / s e a esfera está caindo com velocidade v θ = v 0 ↓ v 0 = 2 f t / s . Após o impacto, a haste e a esfera se movem juntas, girando em torno de A com velocidade angular para ω = ω )

Geometria

R = L 2 + r 2 = 10 2 + 3 2 = 10.44 i n . = 0.8700 f t

t a n ⁡ θ = r L = 3 10 θ = 16.7 ∘

Passo 3

Cinemática. Antes do impacto

v C = L 2 ω 0 = 5 12 ( 3 ) = 1.25 f t / s ↑

Depois do impacto

v C = L 2 ω ' ↓ , v G = R ω ' θ

Princípio do Impulso e momento. Negligencie o peso da haste e da esfera pela duração do impacto

Passo 4

  1. momento sobre A

m S v 0 L - I A B ω 0 - m A B v C L 2 + 0 = I G ω ' + m S v G ' R + I A B ω ' + m A B v C L 2

m S v 0 L - I A B ω 0 2 - m A B v C L 2 = I θ + m S R 2 + I A B + 1 4 m A B L 2 ω ' (1)

( 0.09317 ) ( 2 ) 10 12 - ( 0.003594 ) ( 3 ) - ( 0.06211 ) ( 1.25 ) 5 12 = 0.002329 + ( 0.09317 ) ( 0.87 ) 2 + 0.003594 + 1 4 ( 0.06211 ) 10 12 2 ω '

0.112152 = 0.087226 ω '                         ω ' = 1.285 8

ω ' = 1.286 r a d / s

Aceleração normal em C e G

Passo 5

a C n = L 2 ω ' 2 = 5 12 ( 1.2858 ) 2 = 0.6889 f t / s 2 ←

a G n = R ω ' 2 = ( 0.87 ) ( 1.2858 ) 2 = 1.4384 f t s 2             16.7 ∘

Aceleração tangencial em C e G α = α )

a C i = L 2 α = 5 12 α 4 a G t = R α = 0.87 α               16.7 ∘

Passo 6

(b) Cinética. Use barra AB e a esfera como um corpo livre

+ ) Σ M A = Σ M A e f f

W A B L 2 + W s L = I A B α + L 2 m A B a C t + I G α + m S a Q , R = I A B + 1 4 m A B L 2 + I G + m S R 2 α

(2)  5 12 + ( 3 ) 10 12 = 0.003594 + 1 4 ( 0.06211 ) 10 12 2 + 0.002329 + ( 0.09317 ) ( 0.87 ) 2 α

3.3333 = 0.087226 α

α = 38.214 r a d / s 2

a C t = 5 12 ( 38.214 ) = 15.923 f t / s 2 ↓

a G t = ( 0.87 ) ( 38.214 ) = 33.247 f t s 2                 16.7 ∘

+ → Σ F x = Σ F x e f f :

A x = - m A B a C n - m s a C n c o s ⁡ 16.7 ∘ + m S a G j s i n ⁡ 16.70

A x = - ( 0.06211 ) ( 0.6889 ) - ( 0.09317 ) ( 1.4384 ) c o s ⁡ 16.7 ∘ + ( 0.09317 ) ( 38.247 ) s i n ⁡ 16.7 ∘

A x = 0.719 l b

A x = 0.719 l b →

+ ↑ Σ F y = Σ F y eff  : A y - W A B - W S = - m A B a C t - m S a G t c o s ⁡ 16.7 ∘ - m S a G n s i n ⁡ 16.7 ∘

A y - 2 - 3 = - ( 0.06211 ) ( 15.923 ) - ( 0.09317 ) ( 33.247 ) c o s ⁡ 16.7 ∘ - ( 0.09317 ) ( 1.4384 ) s i n ⁡ 16.7 ∘

A y = 1.006 l b

A y = 1,00616 ↑

Resposta

(a)   ω ' = 1.286 r a d / s

(b)   A x = 0.719 l b →

A y = 1,00616 ↑

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