O movimento da haste fina A.B de 250 mm é guiado por pinos em A e B que deslizam livremente em fendas cortadas em uma placa vertical, conforme mostrado. Sabendo que a haste tem uma massa de 2 kg e é liberada do repouso quando θ = 0 , determine as reações em A e B quando θ = 90 °

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine as reações em A e B quando θ = 90 °

Deixe ponto G como centro de massa da haste AB

m = 2 k g L = 0.025 m

I G = 1 12 m L 2 = 0.0104667 k g ⋅ m 2

Passo 2

Cinemática θ = 90 ∘

A D = R = 0.125 m A B = L = 0.25 m

s i n ⁡ β = R L = 1 2 β = 30 ∘

A G ¯ = L 2 = 0.125 m B G → = 0.125 m

Ponto E é o centro instantâneo de rotação da barra AB

v G = L 2 ω = 0.125 ω

v A = L c o s ⁡ 30 ∘ ω = 0.21651 ω v B = L s i n ⁡ 30 ∘ ω = 0.125 ω

Passo 3

Use o princípio de conservação de energia para obter a velocidade quando θ = 90 °

Use nível A como o dado para energia potencial

Posição 1 θ = 0                   T 1 = 0

V 1 = - m g L 2 = - ( 2 ) ( 9.81 ) ( 0.125 ) = - 2.4525 J

Posição 2 θ = 90 ∘

T 2 = 1 2 I G ω 2 + 1 2 m v G 2 = 1 2 ( 0.0104667 ) a 2 + 1 2 ( 0.125 ω ) 2 = 0.0208583 ω 2

V 2 = - m g R + L 2 c o s ⁡ β = - ( 2 ) ( 9.81 ) 0.125 + 0.125 c o s ⁡ 30 ∘ = - 4.5764 J

Passo 4

T 1 + V i = T 2 + V 2 : 0 - 2.4525 = 0.0208583 ω 2 - 4.5764

ω 2 = 101.826 r a d 2 / s 2

ω = 10.091 r a d / s

v A = ( 0.21651 ) ( 10.091 ) = 2.1848 m / s

v G = ( 0.125 ) ( 10.091 ) = 1.2614 m / s

Passo 5

Mais cinemática

Para ponto A se movendo na curva

a A = a C x i + v A 2 R j = a C x i + ( 2.1847 ) 2 0.125 j = a c x i + 38.1833 j

Para barra AB α = α k , v B = v B j

r A / B = - L s i n ⁡ 30 ∘ i + L c o s ⁡ 30 ∘ j = - 0.125 i + 0.21651 j

r C / B = 1 2 r A / β = - 0.0625 i + 0.108253 j

a A = a B + α + r A B - ω 2 r A / B = & a B j + α k × ( - 0.125 i + 0.21651 j )

- ( 10.091 ) 2 ( - 0.125 i + 0.21651 j ) = a B j ˙ - 0.125 α j - 0.21651 α i + 12.7285 i - 22.0468 j

Correspondente vertical de a A

38.1833 = a B - 0.125 α - 22.0468

a B = 0.125 α + 60.2301 a G = a B + a G / B

= a B + α k × r ( G / R - ω 2 r G / B = ( 0.125 α + 60.2324 ) j + α k × ( - 0.0625 i + 0.108253 j )

- ( 10.091 ) 2 ( - 0.0625 i + 0.108253 j )

= 0.125 α j + 60.2301 j - 0.0625 α j - 0.108253 α i + 6.3643 i - 11.0232 j

a G = ( - 0.108253 α + 6.3643 ) i + ( 0.0625 α + 49.2069 ) j

Passo 6

Cinética: Use a haste AB como um corpo livre

+ ) ∑ M k = Σ M E e f f

- m g L 2 s i n ⁡ β k = I G α + r G / k × a G - ( 2 ) ( 9.81 ) ( 0.125 ) s i n ⁡ 30 ∘ = 0.0104667 α + ( 0.0625 i + 0.108253 j ) m a G

- 1.22625 = 0.0104667 α + 0.03125 α + 4.7730

0.0417167 α = - 5.999 R

α = - 143.808 r a d / s 2

a G = - 21.933 m / s 2 i + 40.2189 m / s 2 j

Passo 7

O somatório das forças em X e Y são dados a seguir :D

+ → Σ F x = Σ F x c f f = m a G x : - B = ( 2 ) ( - 21.932 ) = 43.864 N

B = 43.9 N ⟶

+ ↑ Σ F y = Σ F y e f f = m a G y : A - m g = ( 2 ) ( 40.4289 ) = 80.4378

A = ( 2 ) ( 9.81 ) + 80.4378 = 100.058

A = 100.1 N ↑

Verificar por consideração

+ Σ M G = Σ M e f f : Σ M G = ( 0.0625 ) A - 0.108253 B = 1.5052 N ⋅ m

Σ M G e f f = I G ( - α ) = ( 0.0104667 ) ( 143.808 ) = 1.5052 N ⋅ m

Resposta

A = 100.1 N ↑

B = 43.9 N ⟶

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