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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 243

Na posição mostrada, a haste fina se move a uma velocidade constante u = 3 pol./s para fora do tubo BC. Ao mesmo tempo, o tubo BC gira a uma taxa constante de ω 2 = 1.5   r a d   / s em relação ao braço CD. Sabendo que todo o conjunto gira em torno do eixo X a uma taxa constante ω 1 = 1.2 r a d / s , determine a velocidade e a aceleração da extremidade A da haste.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a velocidade e a aceleração da extremidade A da haste.

r A = ( 6   i n .   ) j + ( 9   i n .   ) k

Passo 2

Método 1

Deixe o corpo rígido DCB estar em um quadro de rotação como referência

Sua velocidade angular é

Ω = ω 1 i + ω 2 k = ( 1.2 r a d / s ) i - ( 1.5 r a d / s ) k

Sua aceleração angular é

α = α i × ω 2 k = - a 1 ω 2 j   = 1.8 r a d / s 2 j  

Passo 3

Movimento coincidente do ponto A no quadro

v A ' = Ω × r A

= ( 1.2 i - 1.5 k ) × ( 6 j + 9 k )   = 7.2 k - 10.8 j + 9 i   = ( 9   i n .   / s ) i - ( 10.8   i n .   / s ) j + ( 7.2   i n .   s ) k  

a A ' = α × r A + Ω × v A '

= i   j   k   0   1.8   0   0   6   9   + i   j   k   1.2   0   - 1.5   9   - 10.8   7.2     = 16.2 i - 16.2 i + 22.14 j - 12.96 k   = 22.14 i n / s 2 j - 12.96 i n / s 2 k  

Movimento do ponto A relativo ao quadro

v A / F = u j = ( 3   i n   / s ) j   a A / F = 0  

Velocidade no ponto A

v A = v A + v A F   v A = 9 i - 10.8 j + 7.2 k + 3 j  

v A = ( 9.00 i n / s ) i - ( 7.80 i n . / s ) j + ( 7.20 i n / s ) k

Aceleração Coriolis

2 Ω × v A f = ( 2 ) ( 1.2 i + 1.5 k ) × 3 j

= - 9 i n / s 2 i + 7.2 i n ⋅ s 2 k

Aceleração no ponto A

a A = a A ' + a A / F + 2 Ω × v A / F   a A = - 22.14 j - 12.92 k + 9 i + 7.2 k  

a A = 9.00 i n / s 2 i - 22.1 i n / s 2 j - 5.76 i n / s 2 k

Passo 4

Método 2

Deixe o quadro Dxyz, que no instante mostrado coincide com DXYZ, girar com uma velocidade angular Ω = ω 1 i = 1.2 i r a d / s . Então, o movimento relativo ao quadro consiste na rotação do corpo DCB em torno do eixo Z com velocidade angular ω 2 k = - ( 1.5 r a d / s ) k mais o movimento de deslizamento u = u i = ( 3   i n   / s ) j   do haste AB em relação ao corpo DCB.

Movimento do ponto A’ coincidente ao quadro

v A ' = Ω × r A

= 1.2 i × ( 6 j + 9 k )   = - ( 10.8 i n / s ) j + ( 7.2 i n / s ) k  

a A ' = Ω × v A '

= 1.2 i × ( - 10.8 j + 7.2 k )   = - 8.64 i n , s 2 j - 12.96 i n / s 2 k  

Movimento do ponto A relativo ao quadro

v A / F = ω 2 k × r A + u j

= ( - 1.5 k ) × ( 6 j + 9 k ) + 3 j   = ( 9   i n   / s ) i + ( 3   i n   / s ) j  

a A / F = α 2 k × r A + ω 2 k × ω 2 k × r A + u ˙ j + 2 ω 2 k × ( u j )

= 0 + ( - 1.5 k ) × ( 9 i ) + 0 + ( 2 ) ( - 1.5 k ) × ( 3 j )   = - 13.5 j + 9 i   = 9   i n .   / s 2 i - 13.5   i n .   / s 2 j  

Velocidade do ponto A

v A = v A ' + v A l F   v A = - 10.8 j + 7.2 k - 9 i + 3 j  

v A = ( 9.00   i n   / s ) i - ( 7.80 i n / s ) j + ( 7.20 i n / s ) k

Aceleração coriolis

2 Ω × v A / F = ( 2 ) ( 1.2 i ) × ( - 9 i + 3 j )

= 7.2 i n / s 2 k

Aceleração do ponto A

a A = a A ' + a A F + 2 Ω × v A f     a A = - 8.64 j - 12.96 k + 9 i - 13.5 j + 7.2 k  

a A = 9,00 i n / s 2 i - 22.1 i n ⋅ / s 2 j - 5.76 i n / s 2 k

Resposta

v A = ( 9.00 i n / s ) i - ( 7.80 i n . / s ) j + ( 7.20 i n / s ) k

a A = 9.00 i n ⁡ / s 2 i - 22.1 i n . / s 2 j - 5.76 i n / s 2 k

v A = ( 9.00 i n / s ) i - ( 7.80 i n / s ) j + ( 7.20 i n / s ) k

a A = 9.00 i n / s 2 i - 22.1 i n / s 2 j - 5.76 i n / s 2 k

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