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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 6.4 - Ex. 65

A haste B de 0,4   k g com centro de massa a 55   m m de O - O tem um raio de giração de 69   m m em relação a O - O . A haste está soldada ao tubo de aço e é livre para girar em torno do eixo horizontal fixo em O - O . A massa do tubo é de 0,92   k g . Se o tubo é liberado a partir do repouso com a haste na posição horizontal, calcule a aceleração angular inicial α do conjunto e a reação correspondente O exercida sobre a haste pelo eixo.

Passo 1

Precisamos encontrar o momento de inércia do sistema inteiro em relação ao eixo O - O . Começando pelo tubo, vamos usar o teorema dos eixos paralelos:

I O = I c m + m d 2

I c m = 1 2 m r 2 + 1 12 m l 2 = 1 2 0,92 0,0625 2 2 + 1 6 0,100 2

I c m = 0,00 1216   k g ∙ m 2

m d 2 = m 0,125 + 0,0625 2 2 = 0,02 25   k g ∙ m 2

Então:

I O = 0,00 1216 + 0,02 25  

I O = 0,02368   k g ∙ m 2

E agora vamos fazer o mesmo cálculo para a haste:

I O = m k o 2

Onde k 0 é o raio de giração que foi dado no enunciado:

I 0 = 0,4 0,069 2 = 1,904.10 - 3   k g ∙ m 2

E então o momento de inércia total é:

I = 0,02 368 + 0,001904 = 0,02 56   k g ∙ m 2

Passo 2

Agora podemos calcular a aceleração angular usando a seguinte equação:

∑ M O = I O α

E as forças que produzem momento em relação a esse eixo são os pesos de cada parte:

∑ M 0 = m B g 0,055 + m A g 0,125 + 0,0625 2

∑ M O = 0,21582 + 1,41018

∑ M O = 1 , 626   N ∙ m

E podemos usar o momento de inércia para calcular a aceleraçã angular resultante:

α = 1 , 626 0 , 02 56 = 63,5   r a d / s 2

Passo 3

Agora podemos calcular a força exercida sobre o mancal pelo eixo usando a segunda lei de Newton na direção tangencial ao movimento:

∑ F t = m a t

E para encontrar a aceleração tangencial de cada parte, temos que multiplicar a aceleração angular pela distância entre o eixo e o centro de massa:

∑ F t = 0,15625 0,92 + 0,055 0,4 63,5

∑ F t = 10,525

E as únicas forças nessa direção são os pesos do tubo e da haste, e a força O no mancal:

m A + m B g - O = 10,525

O = 0,4 + 0,92 9,81 - 10,525

O = 2,42   N

Resposta

A aceleração angular é α = 63,6   r a d / s 2 e a força no mancal é O = 2,42   N .

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