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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 66

A haste 0A gira cerca de 0 em um plano horizontal. O movimento do colar B de 300 g é definido pelas relações r = 300 + 100 c o s ⁡ ( 0.5 π t ) e θ = π t 2 - 3 t , onde r é expresso em milímetros, t em segundos e 0 em radianos. Determine os componentes radial e transversal da força exercida no colar quando (a) t = 0, (b) t = 0,5 s.

Passo 1

E aí gurizada tudo belezinha? O enunciado pede que a gente Determine os componentes radial e transversal da força exercida no colar quando (a) t = 0, (b) t = 0,5 s.

Coordenadas polares e suas derivadas:

r = 0.3 + 0.1 c o s c o s   0.5 π t   m                                                                       θ = π t 2 - 3 t r a d

r ˙ = - 0.05 π s i n ⁡ ( 0.5 π t ) m / s                                                                       θ ˙ = π ( 2 t - 3 ) r a d / s

r ¨ = - . 025 π 2 c o s ⁡ ( 0.5 π t ) m / s 2 θ ¨ = 2 π r a d / s 2

Passo 2

  1. Para t=0:

    2. r = 0.4 m θ = 0

    r ˙ = 0 θ ˙ = - 3 π r a d / s

    r ¨ = - 0.025 π 2 m / s 2 θ ¨ = 2 π r a d / s 2

    Componentes da aceleração:

    a r = r ¨ - r θ ˙ 2 = - 0.025 π 2 - 0.4 ( - 3 π ) 2   = - 35.777 m / s 2  

    a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ = ( 0.4 ) ( 2 π ) + 2 ( - 3 π ) ( 0 )   = 2.513 m / s 2  

    Componentes da Força:

    F r = m a r = ( 0.3 ) ( - 35.777 ) F r = - 10.73 N

    F θ = m a θ = 0.3 2.513                                                                               F θ = 0.754 N

    Passo 3

  2. Para t=0,5s:

r = 0.37071 m                                                                                                   θ = - 3.927 r a d

r ˙ = - 0.11107 m / s θ ˙ = - 2 π r a d / s

r ¨ = - 0.17447 m / s 2 θ ¨ = 2 π r a d / s 2

Componentes da aceleração:

a r = r ¨ - r θ ˙ 2   = - 14.809 m / s 2  

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙   = 3.725 m / s 2  

Componentes da Força:

F r = m a r = 0.3 - 14.809                                                           F r = - 4.44 N

F θ = m a θ = 0.3 3.725                                                                     F θ = 1.118 N

Resposta

  1. a r =   - 35.777 m / s 2

    2. a θ = 2.513 m / s 2

    F r = - 10.73 N

    F θ = 0.754 N

  2. a r = - 14.809 m / s 2

a θ = 3.725 m / s 2

F r = - 4.44 N

F θ = 1.118 N

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