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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 6.6 - Ex. 135

Para a haste delgada articulada de comprimento l , determine a distância x para a qual a velocidade angular será máxima quando a barra passar pela posição vertical, após ter sido liberada na posição horizontal mostrada. Determine a velocidade angular correspondente.

Passo 1

Vamos começar escrevendo a lei de conservação de energia:

Δ T + Δ V g = 0

Precisamos escrever expressões para cada um desses termos quando a haste vai da posição mostrada no desenho para uma posição vertical.

Começamos pela variação de energia potencial:

Δ V g = m g Δ h

Onde Δ h é a variação da altura do centro de massa. Como o sistema gira em torno de O , essa variação é simplesmente a distância entre o centro de massa e o ponto O :

Δ h = 1 2 l - x

Ou seja:

Δ V g = - m g 1 2 l - x

Passo 2

Agora vamos pensar na variação de energia cinética. O sistema parte do repouso, então:

Δ T = T f

Δ T = 1 2 I O ω 2

Onde I O é o momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo ponto O . Para calcular isso vamos precisar do teorema dos eixos paralelos:

I O = I c m + m d 2

I O = 1 12 m l 2 + m l 2 - x 2

Então:

Δ T = 1 2 I O ω 2 = 1 2 1 12 m l 2 + m l 2 - x 2 ω 2

Passo 3

Agora vamos substituir os dois resultados na nossa lei de conservação:

Δ T + Δ V g = 0

1 2 1 12 m l 2 + m l 2 - x 2 ω 2 - m g l 2 - x = 0

Vamos dividir a expressão por m e isolar ω :

1 2 1 12 l 2 + l 2 - x 2 ω 2 - g l 2 - x = 0

ω 2 = 2 g l 2 - x 1 12 l 2 + l 2 - x 2 = g l - 2 g x l 2 3 - l x + x 2

Agora podemos derivar em relação a x e igualar a zero para encontrar um ponto de máximo:

d ω 2 d x = 0

Precisamos usar a regra do quociente:

- 2 g l 2 3 - l x + x 2 - 2 x - l g l - 2 g x l 2 3 - l x + x 2 2 = 0

- 2 g l 2 3 - l x + x 2 - 2 x - l g l - 2 g x = 0

Agora dividimos tudo por g e reorganizamos a equação:

- 2 l 2 3 - l x + x 2 - 2 x - l l - 2 x = 0

- 2 l 2 3 + 2 l x - 2 x 2 - 2 l x + 4 x 2 + l 2 - 2 l x = 0

2 x 2 - 2 l x + 1 3 l 2 = 0

E podemos resolver essa equação de segundo grau para encontrar x :

x = 2 l ± 4 l 2 - 4 2 1 3 l 2 4

Podemos colocar o l em evidência e dividir tudo por 2 :

x = 1 ± 1 - 2 3 2 l

Com isso temos duas soluções:

x 1 = 0,789   l

x 2 = 0,211   l

Passo 4

Agora vamos encontrar a velocidade angular correspondente a esses pontos de máximo:

ω 2 = g l - 2 x l 2 3 - l x + x 2

Primeiro vamos substituir x 2 = 0,211   l :

ω 2 = g l - 2 0 , 211   l l 2 3 - l 0,789 l + 0,789 l 2

ω 1 2 = g l 1 - 2 0,211 1 3 - 0 , 211 + 0 , 211 2 = 3,46 g l

ω 1 = 1,861   g l

E quando substituímos x 1 = 0,789   l , acabamos com a raiz quadrada de um número negativo, então essa solução não serve para o nosso caso.

Resposta

A distância é x = 0,211   l , e a velocidade angular correspondente é ω = 1,861   g l .

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