A haste O A é mantida no ângulo constante β = 30 ° enquanto gira em torno do eixo vertical com uma velocidade angular constante θ ˙ = 120   r p m . Simultaneamente, a esfera deslizante P oscila ao longo da haste com sua distância em milímetros a partir do ponto fixo O dada por R = 200 + 50   s e n ( 2 π n t ) , onde a frequência n de oscilação ao longo da haste é constante em 2 ciclos por segundo e onde t é o tempo em segundos. Calcule o módulo da aceleração de P para um instante em que sua velocidade ao longo da haste de O para A é um máximo.

Passo 1

Derivando a expressão de R em relação ao tempo, obtemos R ˙ e R ¨ em função de t :

R = 200 + 50   s e n 2 π n t

R ˙ = 50 2 π n cos ⁡ 2 π n t

R ¨ = - 50 2 π n 2   s e n 2 π n t

Para que a velocidade R ˙ seja máxima, devemos ter cos ⁡ ( 2 π n t ) = 1 . Portanto, s e n 2 π n t = 0 . Além disso, temos n = 2   s - 1 . Então:

R = 200   m m

R ˙ = 200 π   m m

R ¨ = 0

Se pensarmos em coordenadas esféricas, os outros dados do enunciado são:

θ ˙ = 120 2 π 60 = 4 π   r a d / s

θ ¨ = 0

ϕ = 90 ° - β = 90 ° - 30 ° = 60 °

ϕ ˙ = ϕ ¨ = 0

Passo 2

Agora vamos lembrar que as componentes da aceleração em coordenadas esféricas são dadas assim:

a R = R ¨ - R ϕ ˙ 2 - R θ ˙ 2 cos 2 ⁡ ϕ

a θ = cos ⁡ ϕ R d d t R 2 θ ˙ - 2 R θ ˙ ϕ ˙   s e n   ϕ

a ϕ = 1 R d d t R 2 ϕ ˙ + R θ ˙ 2   s e n   ϕ cos ⁡ ϕ  

Começamos calculando a R :

a R = R ¨ - R ϕ ˙ 2 - R θ ˙ 2 cos 2 ⁡ ϕ = 0 - 200 0 2 - 200 4 π 2 cos 2 ⁡ 60 °

a R = - 800 π 2   m m / s 2

No cálculo de a θ , usamos a regra do produto para a derivada presente na expressão:

a θ = cos ⁡ ϕ R 2 R R ˙ θ ˙ + R 2 θ ¨ - 2 R θ ˙ ϕ ˙   s e n   ϕ

a θ = 2 R ˙ θ ˙ cos ⁡ ϕ + R θ ¨ cos ⁡ ϕ - 2 R θ ˙ ϕ ˙   s e n   ϕ

a θ = 2 200 π 4 π cos ⁡ 60 ° + 200 0 cos ⁡ 60 ° - 2 2 00 4 π 0   s e n   60 °

a θ = 800 π 2   m m / s 2

Passo 3

Para calcular a ϕ , utilizamos novamente a regra do produto para a derivada presente na expressão:

a ϕ = 1 R d d t R 2 ϕ ˙ + R θ ˙ 2   s e n   ϕ cos ⁡ ϕ  

a ϕ = 1 R 2 R R ˙ ϕ ˙ + R 2 ϕ ¨ + R θ ˙ 2   s e n   ϕ cos ⁡ ϕ

a ϕ = 2 R ˙ ϕ ˙ + R ϕ ¨ + R θ ˙ 2   s e n   ϕ cos ⁡ ϕ

a ϕ = 2 200 π 0 + 2 00 0 + 2 00 4 π 2   s e n   60 ° cos ⁡ 60 °

a ϕ = 800 3 π 2   m m / s 2

Logo, o módulo da aceleração será:

a = a R 2 + a θ 2 + a ϕ 2 = - 800 π 2 2 + 800 π 2 2 + 800 3 π 2 2 = 800 π 2 5

a = 17660   m m / s 2

a = 17,66   m / s 2

Resposta

a = 17,66   m / s 2

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