O hemisfério é formado girando-se a área sombreada em torno do eixo y . Determine o mometo de inércia I y e expresse o resultado em termos da massa total m do hemisfério. O material tem uma densidade constante ρ .

Passo 1

Sabemos que d m = ρ d V . Com isso,

m = ∫ m d m = ∫ 0 r ρ π x 2 d y = ρ π ∫ o r r 2 - y 2 d y = 2 3 ρ π r 3

Passo 2

Agora que já conhemos a massa, vamos calcular o valor do momento de inércia. Então,

I y = ∫ m 1 2 d m x 2 = ρ 2 ∫ o r π x 4 d y = ρ π 2 ∫ 0 r r 2 - y 2 2 d y = 4 ρ π 15 r 5

Passo 3

Encotramos o valor da massa e do mometo de inércia. Agora basta fazermos um uma jogada matemática para colocar a massa dentro do momento de inércia. Então,

I y = 4 ρ π 15 r 5 = 2 3 ρ π r 3 2 5 r 2 = 2 5 m r 2

Resposta

I y = 2 5 m r 2

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