Enunciado

O homem de 60 kg atua como uma bala de canhao humana ao ser ‘atirado’ do canhão armado com uma mola como mostrado. Se a maior aceleração que ele pode sentir é a = 10 g = 98,1   m / s 2 , determine a rigidez necessária da mola que está comprimida 0,6 m no momento do lançamento. Com que velocidade ele vai deixar o cano do canhão, d = 2,4 m, quando o canhão for disparado? Quando a mola é comprimida de s = 0,6 m, então d = 2,4 m. Despreze o atrito e suponha que o homem se mantém em uma posição rígida durante todo o movimento.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguinte informações:

Massa do homem: m = 60 kg;

Aceleração máxima sobre o homem: a = 10 g = 98,1   m / s 2 ;

Mola comprimida: s = 0,6 m;

Devemos determinar a velocidade com que o homem irá deixar o canhão quando ele for disparado. Neste momento, d = 2,4 m.

Inicialmente, vamos desenhar o diagrama de corpo livre do homem no dentro do canhão:

Onde W = m g é a força peso, N é a força normal e F s é a força elástica exercida pela mola.

Passo 2

Primeiramente, vamos descobrir o valor da força da mola, pois sabemos que esta força irá exercer trabalho sobre o homem.

Para isso, vamos utilizar as Equações do Movimento:

No eixo x :

∑ F x = m a x

F s - W sen ⁡ 45 ° = m a

F s = m 10 g + m g sen ⁡ 45 °

F s = 60 10 9,81 + 60 9,81 sen ⁡ 45 °

F s = 6302,20   N

Sabemos que F s = k s , logo

k = F s s = 10503,67   N / m

Passo 3

Agora que já temos as informações sobre as forças e sobre a mola, vamos aplicar o Princípio do Trabalho e da Energia para encontrar a velocidade do homem ao sair do canhão.

No primeiro momento, o homem está em repouso, logo sua velocidade inicial é nula.

A mola exercerá um trabalho positivo sobre o homem, pois o está empurrando no mesmo sentido do deslocamento. Já a força peso exercerá trabalho negativo, pois atua no sentido oposto.

Temos que

T 1 + ∑ U 1 - 2 = T 2

onde

T 1 = 1 2 m v 1 2 = 1 2 m 0 2 = 0

T 2 = 1 2 m v 2 2 = 30 v 2 2

∑ U 1 - 2 = 1 2 k s 2 - W y 1 - 2 = 1 2 10503,67 0,6 2 - 60 9,81 2,4   sen ⁡ 45 ° = 891,77

Substituindo esses valores na equação inicial, obtemos

0 + 891,77 = 30 v 2 2

v 2 2 = 29,73

v 2 = 5,45   m / s

Resposta

v 2 = 5,45   m / s

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