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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 11

Um homem com massa de 75   k g está agachado na extremidade do trampolim, como mostra a figura. Nessa posição, o raio de giração em relação a seu centro de gravidade é k G = 0,36   m . Enquanto mantém sua posição em θ = 0 ° , ele gira em torno da ponta dos pés em A , até que perca contato com a plataforma, quando θ = 90 ° . Se ele permanece rígido, determine de forma aproximada quantas revoluções ele completará antes de atingir a água, após uma queda de 9   m .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Podemos aplicar o princípio do trabalho e energia analisando o momento incial e final do sistema.

T 1 + ∑ U 1 → 2 = T 2

Temos que:

T 1 = 1 2 m v 1 2 + 1 2 I O ω 1 2

Como o momento inicial é o repouso, temos que:

T 1 = 0

Para o momento final, temos:

T 2 = 1 2 m v 2 2 + 1 2 I O ω 2 2

Sabendo que ω 2 = v 2 / r e I O = m O k O 2 :

T 2 = 1 2 75 0,45 ω 2 + 1 2 75 0,36 2 ω 2

T 2 = 12,45 ω 2

Passo 2

A parcela do trabalho ∑ U 1 → 2 , será:

∑ U 1 → 2 = m g h

∑ U 1 → 2 = 75 9,81 0,45

∑ U 1 → 2 = 331,1   J

Agora é só aplicar:

T 1 + ∑ U 1 → 2 = T 2

0 + 331,1   = 12,45 ω 2

ω = 5,16   r a d / s

Logo:

v G = 0,45 ( 5,16 )

v G = 2,32   m / s

Passo 3

Agora que temos a velocidade do centro de massa, podemos encontrar o tempo de queda a partir da equação da posição do movimento acelerado.

Temos que:

s = s 0 + v 0 t + 1 2 a t 2

9 = 0 + 2,32 t + 1 2 9,81 t 2

4,905 t 2 + 2,32 t - 9 = 0

t = 1,147   s

Podemos associar o tempo com a posição θ do nadador. Logo:

θ = θ 0 + ω 0 t + 1 2 α t 2

θ = 0 + 5,16 1,147 + 0

θ = 5,92   r a d

Sabendo que 2 π equivale a uma volta, temos que:

θ = 0,942   r e v

Resposta

θ = 0,942   r e v

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