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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 20.Problemas - Ex. 53

No instante θ = 30 ° , a estrutura do guindaste e a lança A B está girando com uma velocidade angular constante ω 1 = 1,5   r a d / s e aceleração angular ω ˙ 1 = 0,5   r a d / s 2 , equanto a lança A B gira com uma velocidade angular ω 2 = 0,5   r a d / s e uma aceleração angular ω ˙ 2 = 0,25   r a d / s 2 . Determine a velocidade e a aceleração do ponto B nesse instante.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Vamos às analises:

v A = ω 1 × r O A

v A = 1,5 k × 1,5 j = - 2,25 i   m / s

a A = ω ˙ 1 × r O A + ω 1 × ω 1 × r O A

a A = 0 , 5 k × 1,5 j + 1,5 k × 1,5 k × 1,5 j

a A = - 0,75 i - 3,375 j   m / s 2

Temos que:

Ω x y z = 0,5 i

Ω ˙ x y z = 0

r B / A = 12 cos ⁡ 30 ° j + 12 sin ⁡ 30 ° k

r B / A = 10,4 j + 6 k

v B / A = r ˙ B / A = r ˙ B / A x y z + Ω x y z × r B / A

v B / A = 0 + 0,5 i × 10,4 j + 6 k

v B / A = - 3 j + 5,196 k

a B / A = r ¨ B / A = r ¨ B / A x y z + Ω x y z × r ˙ B / A + Ω ˙ x y z × r B / A + Ω x y z × r ˙ B / A

a B / A = 0 + 0 + 0,25 i × 10,4 j + 6 k + 0,5 i × - 3 j + 5,196 k

a B / A = ( - 4,098 j + 1 , 098 k )

Como Ω = 1,5 k e Ω ˙ = 0 , temos:

v B = v A + Ω × r B / A + v B / A

v B = - 2,25 i + 1,5 k × 10,4 j + 6 k + - 3 j + 5,196 k

v B = ( - 17,8 i - 3 j + 5 , 2 k )   m / s

Temos também que:

a B = a A + Ω ˙ × r B / A + Ω × ( Ω × r B / A ) + 2 Ω × v B / A + a B / A

a B = - 0,75 i - 3,375 j + 0 , 5 k × 10,4 j + 6 k + 1,5 k × 1,5 k × 10,4 j + 6 k + 2 1,5 k × - 3 j + 5,196 k + ( - 4,098 j + 1,098 k )

a B = ( 3,05 i - 30 , 9 j + 1 , 1 k )   m / s 2

Resposta

v B = ( - 17,8 i - 3 j + 5,2 k )   m / s

a B = ( 3,05 i - 30 , 9 j + 1,1 k )   m / s 2

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