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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 16.Problemas - Ex. 35

35. No instante mostrado, o eixo e a placa giram com uma velocidade agunlar ω=14rads e a aceleração angular a=7 rad/s2. Determine a velocidade e a aceleração do ponto D localizado no canto da placa nesse instante. Expresse o resultado na forma de um vetor cartesiano.

Passo 1

Temos que escrever a relação para o vetor de posição do ponto A.

r O A = - 0,3 i + 0,2 j + 0,6 k   m

O vetor unitário correspondente ao ponto A na direção da velocidade angular e aceleração angula é dado por:

u O A = r O A r O A

u O A = - 0,3 i + 0,2 j + 0,6 k - 0,3 i + 0,2 j + 0,6 k

u O A = - 0,3 i + 0,2 j + 0,6 k - 0,3 2 + 0,2 2 + 0,6 2

= - 0,3 i + 0,2 j + 0,6 k 0,7

= { - 0,4286 i + 0,2857 j + 0,8571 k }

Passo 2

Agora temos que calcular a forma vetorial da velocidade angular usando a seguinte relação:

ω = ω   u O A

Saca só que nós tivemos que calcular o vetor unitário no passo anterior pois íamos precisar dele aqui.

ω = 14 × { - 0,4286 i + 0,2857 j + 0,8571 k }

= - 6 i + 4 j + 12 k   r a d / s

A forma vetorial de aceleração angular é calculada usando a seguinte relação:

α = α   u O A

α = 7 × { - 0,4286 i + 0,2857 j + 0,8571 k }

α = - 3 i + 2 j + 6 k   r a d / s 2

Passo 3

O vetor de posição para o ponto D é:

r O D = 0,3 i - 0,4 j   m

Temos que a relação da velocidade no ponto D é:

v D = ω × r O D

v D = - 6 i + 4 j + 12 k × 0,3 i - 0,4 j

O produto vetorial acima após ser resolvido chega em:

v D = 4,8 i + 3,6 j + 1,2 k   m / s

Portanto, a velocidade do ponto D é  4,8 i + 3,6 j + 1,2 k   m / s .

A relação para aceleração de ponto D pode ser calculada usando a seguinte relação:

a D = α × r D + ω × ω × r D

a D = - 3 i + 2 j + 6 k × 0,3 i - 0,4 j + - 6 i + 4 j + 12 k × - 6 i + 4 j + 12 k × 0,3 i - 0,4 j

Após resolver a primeira série de produtos vetoriasi ficamos com:

= 2,4 i + 1,8 j + 0,6 k + - 6 i + 4 j + 12 k × 4,8 i + 3,6 j + 1,2 k

Após resolver o utimo produto vetorial que ficou faltando vem:

= 2,4 i + 1,8 j + 0,6 k + { - 38,4 i + 64,8 j - 40,8 k }

a D = - 36 i + 66,6 j - 40,2 k   m / s 2

Portanto, a aceleração do ponto D é  - 36 i + 66,6 j - 40,2 k   m / s 2 .

Resposta

v D = 4,8 i + 3,6 j + 1,2 k   m / s

a D = - 36 i + 66,6 j - 40,2 k   m / s 2

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