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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 20.Problemas - Ex. 50

No instante mostrado, o tubo gira em torno do eixo z com uma velocidade angular constante ω 1 = 2   r a d / s , enquanto no mesmo instante o tubo gira para cima a uma taxa constante ω 2 = 5   r a d / s . Se a bola B é lançada pelo tubo a uma taxa r ˙ = 7   m / s , a qual está aumentando a r ¨ = 2   m / s 2 , determine a velocidade e a aceleração da bola no instante mostrado. Despreze a dimensão da bola.

Passo 1

Começaremos o exercício estabelecendo o sistema de coordenadas rotacional x, y e z coincidente com o sistema apresentado na figura do enunciado, com origem no ponto A, sendo assim, como o ponto A não se move:

a → A = v → A = 0

Faremos com que o eixo xyz rotacione a uma velocidade:

Ω x y z = ω 2 = 5 i →   r a d / s

E, dessa forma, tenha uma aceleração:

Ω ˙ x y z = ω ˙ 2 = 0

Antes de aplicarmos a equação do movimento relativo, temos que os vetores deslocamento, velocidade e aceleração são dados por:

r → B / A = 3 c o s 30 ° j → + 3 s e n 30 ° k → = 2,5981 j → + 1,5 k →   m

r → ˙ B / A x y z = 7 c o s 30 ° j → + 7 s e n 30 ° k → = 6,0621 j → + 3,5 k →   m / s

r → ¨ B / A x y z = 2 c o s 30 ° j → + 2 s e n 30 ° k → = 1,7321 j → + 1 k →   m / s 2

Passo 2

Agora podemos aplicar a equação da velocidade relativa entre os pontos A e B para o sistema:

v → B / A x y z = r → ˙ B / A x y z + Ω x y z × r → B / A

v → B / A x y z = 6,0621 j → + 3,5 k → + 5 i → × ( 2,5981 j → + 1,5 k → )

v → B / A x y z = - 1,4378 j → + 16,49 k →   m / s

Agora para a aceleração:

a → B / A x y z = [ r → ¨ B / A ) x y z + Ω x y z × r → ¨ B / A x y z + Ω ˙ x y z × r → B / A + Ω x y z × r → ˙ B / A

a → B / A x y z = 1,7321 j → + 1 k → + 5 i → × 6,0621 j → + 3,5 k → + 0 + 5 i → × - 1,4378 j → + 16,49 k →

( a → B / A ) = - 98,22 j → - 24,12 k →   m / s 2

Passo 3

Agora iremos analisar o movimento no ponto B, com Ω = ω 1 = 2 k →   r a d / s e Ω ˙ = ω ˙ 1 = 0 e aplicando a equação da velocidade para o ponto B, temos:

v → B = v → A + Ω × r → B / A + v → B / A x y z = 0 + 2 k → × 2,5981 j → + 1,5 k → + ( - 1,4378 j → + 16,49 k → )

v → B = - 5,2 i → - 1,44 j → + 16,5 k →   m / s

E agora aplicando a equação da aceleração para o ponto B:

a → B = a → A + Ω ˙ × r → B / A + Ω × Ω × r → B / A + 2 Ω × v → B / A x y z + a → B / A x y z

a → B = 0 + 0 + 2 k → × 2 k → × 2,5981 j → + 1,5 k → + 2 2 k → × - 1,4378 j → + 16,49 k → + ( - 98,2 j → + 24,12 k → )

a → B = 5,75 i → - 109 j → + 24,1 k →   m / s 2

Resposta

v → B = - 5,2 i → - 1,44 j → + 16,5 k →   m / s

a → B = 5,75 i → - 109 j → + 24,1 k →   m / s 2

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