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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 2.6 - Ex. 170

O jogador de beisebol do Prob. 2/126 é repetido aqui com o fornecimento de informações adicionais. No instante t = 0 , a bola é arremessada com uma velocidade inicial de 30   m / s em um ângulo de 30 ° em relação à horizontal. Determine as grandezas r , r ˙ , r ¨ , θ , θ ˙ e θ ¨ , todas em relação ao sistema de coordenadas x - y mostrado, no instante t = 0,5   s .

Passo 1

Primeiro, vamos calcular as componentes em x e y da aceleração, velocidade e posição da bola quando t = 0,5   s . Em x , temos movimento uniforme, então:

a x = 0

v x = v 0 cos ⁡ α = 30 cos ⁡ 30 ° = 25,98   m / s

x = x 0 + v x t = 0 + 25,98 0,5 = 12,99   m

Já em y , temos movimento uniformemente variado:

a y = - g = - 9,81   m / s 2

v y = v 0 y - g t = v 0   s e n   α - g t = 30   s e n   30 ° - 9,81 0,5 = 10,095   m / s

y = y 0 + v 0 y   t - 1 2 g t 2 = 2 + 30   s e n   30 ° 0,5 - 1 2 9,81 0,5 2 = 8 , 27   m

Passo 2

Observe a figura:

Assim, calculamos a distância r da bola à origem:

r = x 2 + y 2 = 12,99 2 + 8,27 2

r = 15,40   m

E o ângulo θ com a horizontal é obtido:

t g   θ = y x = 8,27 12,99 = 0,6366

θ = t g - 1 0,6366

θ = 32,5 °

Passo 3

Analogamente, calculamos o módulo da velocidade total v e o ângulo α que essa velocidade faz com a horizontal:

v = v x 2 + v y 2 = 25,98 2 + 10,095 2 = 27,87   m / s

α = t g - 1 v y v x = t g - 1 10,095 25,98 = 21,2 °

Agora escrevemos a velocidade em coordenadas polares:

v = r ˙   e r + r θ ˙   e θ

Pra gente conseguir decompor a velocidade em termos dessas coordenadas, observe a figura:

Então, na direção de e r , temos:

r ˙ = v r = v cos ⁡ θ - α

r ˙ = 27,87 cos ⁡ 32,5 ° - 21,2 °

r ˙ = 27,3   m / s

A velocidade v θ está no sentido oposto ao de e θ , portanto:

r θ ˙ = - v θ = - v   s e n ( θ - α )

15,4   θ ˙ = - 27,87   s e n 11,3 °

θ ˙ = - 0,35   r a d / s

Passo 4

Como a aceleração horizontal é nula, temos:

a = a y = 9,81   m / s 2

Decompomos a aceleração a assim:

Em coordenadas polares, a expressão da aceleração é desse jeito:

a = r ¨ - r θ ˙ 2   e r + r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙   e θ

A aceleração a r está no sentido oposto ao de e r , então:

r ¨ - r θ ˙ 2 = - a r = - a   s e n   θ

r ¨ - 15,4 - 0,35 2 = - 9,81   s e n   32,5 °

r ¨ = - 3,4   m / s 2

A aceleração a θ está no sentido oposto ao de e θ , portanto:

r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ = - a θ = - a cos ⁡ θ

15,4   θ ¨ + 2 27,3 - 0,35 = - 9,81 cos ⁡ 32,5 °

θ ¨ = 0,7   r a d / s 2

Resposta

r = 15,40   m

r ˙ = 27,3   m / s

r ¨ = - 3,4   m / s 2

θ = 32,5 °

θ ˙ = - 0,35   r a d / s

θ ¨ = 0,7   r a d / s 2

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