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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - J. L. Meriam - Estática - Mecânica para Engenharia- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 19

A massa por unidade de comprimento da haste delgada varia com a posição de acordo com ρ = ρ 0 1 - x 2 , onde x está em pés. Determine a localização do centro de massa da barra.

Passo 1

Fala galera, tudo certo? Bora fazer mais um exercício? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede para determinar a posição do centro de massa x - da barra onde sua massa por unidade de comprimento é dada por ρ = ρ 0 1 - x 2 .

Então bora resolver! Como nos foi dada a equação da massa por unidade de comprimento, temos que:

d m = ρ d x

m = ∫ d m = ∫ ρ d x

m = ∫ 0 1 ρ 0 1 - x 2 d x

m = ρ 0 x - x 2 4 0 1

m = ρ 0 1 - 1 2 4

m = 3 4 ρ 0

Passo 2

Show de bola! Até aqui tranquilo né? Agora que já temos a massa m e d m da porção infinitesimal, podemos calcular a posição do centro de massa dada por:

x - = ∫ x   d m m

x - * m = ∫ 0 1 x ρ d x

x - * m = ∫ 0 1 x ρ 0 1 - x 2 d x

x - * m = ρ 0 ∫ 0 1 x - x 2 2 d x

x - * m = ρ 0 x 2 2 - x 3 6 0 1

x - * m = ρ 0 1 2 - 1 6

x - = ρ 0 3 * 4 3 ρ 0

x - = 4 9 f t

É só isso, galera. Da pra acreditar? Hahaha

Partiu pra próxima!

Resposta

x - = 4 9 f t

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205- Determine as coordenadas x e y do centroide da área sombreada.
Localize o centroide y - da área.
Determine a área e o centroide x - ,y - da área.
Determine a massa e a localização do centro de massa x - da barra se sua massa por unidade de comprimento é m = m 0 ( 1 + x / L ) .
Determine a área e o centroide ( x - , y - ) da área.