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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 14ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 14º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 113

O mancal cônico está sujeito a uma distribuição de pressão constante em sua superfície de contato. Se o coeficiente de atrito estático é μ s , determine o torque M exigido para superar o atrito se o eixo suporta uma força axial P .

Passo 1

Vamos desenhar o diagrama de corpo livre dessa situação para entendermos a situação da nossa questão! Para a base do mancal, temos:

Passo 2

Essa questão é boa de fazer, vamo que vamo! O diferencial de área (parte sombreada no diagrama de corpo livre) pode ser escrito da seguinte maneira:

d A = 2 π r d s = 2 π r d r c o s θ

d A = 2 π r d r c o s θ

Passo 3

A força axial P que atua no mancal pode ser escrita como:

P = ∫ p c o s θ d A

onde p c o s θ é a pressão na base do mancal.

P = ∫ p c o s θ 2 π r d r c o s θ

P = 2 π r d r ∫ 0 R r d r

P = π p R 2   → p = R π R ²  

Passo 4

A força normal atuando no elemento diferencial de área d A pode ser escrita como:

d N = p d A

d N = P π R 2 2 π r d r c o s θ = 2 P R 2 c o s θ r d r

Esse resultado será utilizado no próximo passo, quando iremos calcular o momento gerado pelo mancal.

Passo 5

A força normal atuando no elemento diferencial de área d A é d N = P d A = 2 P R 2 c o s θ r d r . Além disso, a força de atrito atuando nesse elemento diferencial é dada por d F = μ s d N = μ S 2 P R 2 c o s θ r d r . A equação do momento sobre o eixo é:

∑ M = 0

M - ∫ r d F = 0

M = ∫ r d F

M = ∫ μ s r d N = 2 μ s P R 2 c o s θ ∫ 0 R r ² d r

M = 2 μ s P R 2 c o s θ R 3 3

M = 2 μ s R P 3 c o s θ

Resposta

O torque M exigido para superar o atrito é igual a:

M = 2 μ s R P 3 c o s θ

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