A manivela gira no sentido horário na taxa constante θ ˙ = 3   r a d / s . A haste AB passa através do cursor articulado em C. Determine a velocidade máxima v em que AB passa através do cursor e o valor correspondente de θ . Represente graficamente l ˙ contra θ para 0 ≤ θ ≤ 180 ° , onde l é a distância AC.

Passo 1

Bom pessoal, vamos representar o mecanismo para tirar algumas relações entre suas variáveis:

A velocidade da haste AB através do cursor C nada mais é que v A B / C , que deve estar na direção do cursor. Deste modo, é a derivada de l , que é a taxa que a haste está aumentando em função do tempo. Então, vamos relacionar l com o ângulo θ através da lei dos cossenos:

l 2 = 240 2 + 80 2 - 2 240 80 c o s θ

l 2 = 64000 - 38400 c o s θ         ( 1 )

Ou

l = 80 10 - 6 c o s θ           ( 2 )

Para encontrar a velocidade v   o u   l ˙ , podemos derivar a equação (1):

2 l l ˙ = 38400 θ ˙ s e n θ

Para deixar a equação apenas em função de θ , vamos substituir l pelo encontrado na equação (2) e θ ˙ = 3   r a d / s :

2 80 10 - 6 c o s θ l ˙ = 38400 ( 3 ) s e n θ

l ˙ = 720 s e n θ 10 - 6 c o s θ

Agora vamos plotar o gráfico (em radianos) da expressão acima para o intervalo 0 ≤ θ ≤ π :

Do gráfico, tiramos que no instante que v é máximo:

θ = 1,2 3 1   r a d = 70,53 °

v m a x = 240   m m / s

Resposta

v m a x = 240   m m / s

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