Enunciado

O mecanismo para controlar a implantação de um painel solar de uma nave espacial a partir da posição A para a posição B está sendo projetado. Determine a expressão vetorial para o único ângulo θ de rotação do painel, que pode realizar a mudança de posição necessária. O lado de frente para o sentido positivo de x na posição A deve estar voltado para o sentido positivo de z na posição B . (Sugestão: Determine a interseção de dois planos, um contendo todos os possíveis eixos de rotação para realizar o movimento para a aresta O - 1 e o outro contendo todos os eixos para a aresta O - 2 .)

Passo 1

Para esse problema vamos fazer uma análise sobre a rotação dos eixos para descobrir quais são os ângulos permitidos para cada caso e depois descobrir a intersecção dos planos.

Passo 2

Inicialmente, temos que o eixo O - 1 pode girar até 180º através de qualquer eixo em O de forma que ainda esteja no plano x - z . Dessa forma, a placa poderá alternar entre a posição desejada e a inicial.

Para o eixo O - 2 , temos que uma coisa similar pode acontecer: para qualquer eixo que passe por O a placa poderá variar em um ângulo de até 180º desde que esteja sempre perpendicular à linha formada por 2 - 2 ' .

Vemos então que existe um ângulo em comum para esse movimento que é 180 º = π = θ . Precisamos apenas analisar agora a intersecção entre esses planos. Podemos ver que para qualquer rotação π dos eixos, pode-se chegar a posição desejada se girarmos ao redor de um eixo criado no plano x - z que está a um ângulo de 45º. Dessa forma, teremos que

θ = π ⋅ 1 2 ⋅ i → + 1 2 ⋅ j → = π 2 ⋅ i → + j →

Resposta

θ = π 2 ⋅ i → + j →

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