Um mecanismo está girando em torno do eixo vertical com velocidade angular constante de θ ˙ = 6   r a d / s . Se a barra A B é lisa, determine a posição constante r do anel C de 3 kg. A mola tem um comprimento não deformado de 400 mm. Despreze a massa da barra e a dimensão do anel.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:

Massa do anel C : m = 3   k g

Velocidade angular constante: θ ˙ = 6   r a d / s

Posição fixa do anel: z = 300   m m = 0,30   m

Comprimento não deformado da mola: l 0 = 400   m m = 0,4 m

Constante elástica da mola: k = 200   N / m

A questão pede para determinar a posição r do anel com a condição de que esta seja constante.

Portanto, temos que r , z e θ ˙ são constantes, ou seja, não variam no tempo.

Desenhamos o diagrama de corpo livre do anel C .

Onde W = m g é a força peso, g = 9,81   m / s 2 , N é a força normal e F s é a força elástica.

Passo 2

Primeiramente, vamos encontrar as derivadas temporais.

Como r , z e θ ˙ são constantes, obtemos os seguintes valores:

r ˙ = r ¨ = 0  

z ˙ = z ¨ = 0  

θ ¨ = 0  

Passo 3

Sabemos que as componentes da aceleração do anel nas coordenadas r , θ e z são dadas por

a r = r ¨ - r θ ˙ 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

a z = z ¨

Logo,

a r = r ¨ - r θ ˙ 2 = - r ( 6 2 ) = - 36 r   m / s 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ = 0   m / s 2

a z = z ¨ = 0   m / s 2

Passo 4

Sabemos que a força elástica é dada pela seguinte fórmula:

F s = k ∆ l

Precisamos encontrar o comprimento final da mola e o ângulo α com que esta força está sendo aplicado no anel. Analisando a situação geometricamente, temos

Sabemos que

l = r 2 + z 2

l = r 2 + 0,3 2 m

Portanto,

F s = k ∆ l = 200 r 2 + 0,3 2 - 0,4

Agora vamos encontrar o valor de α :

cos ⁡ α = r r 2 + 0,3 2

Passo 5

Agora aplicaremos as Equações do Movimento.

Analisando no eixo r , temos que

∑ F r = m a r

- F s cos ⁡ α = 3 - 36 r

- 200 r 2 + 0,3 2 - 0,4 r r 2 + 0,3 2 = - 108 r

- 200 + 80 r 2 + 0,3 2 = - 108

80 r 2 + 0,3 2 = - 108 + 200 = 92

r 2 + 0,3 2 = 80 92 = 0,87

r 2 + 0,3 2 = 0,87 2

r 2 = 0,87 2 - 0,3 2 = 0,666

r = 0,816   m = 816   m m

Resposta

r = 816   m m

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