A metade de um anel de massa m e raio r está soldada a um pequeno eixo horizontal montado em um mancal conforme apresentado. Despreze a massa do eixo e determine a aceleração angular do anel quando um torque M é aplicado ao eixo.

Passo 1

O momento de inércia de um anel (inteiro) de massa M em torno de um eixo como esse da figura seria:

I = 1 2 M r 2

Como o momento de inércia é um somatório (e, no limite, uma integral):

I = ∑ m i r i 2

O fato de que excluímos alguns pedaços (transformamos em massa m i = 0 ) não muda a forma geral da equação, apenas então o momento de inércia desse meio-anel de massa m será:

I = 1 2 m r 2

E se tivéssemos um anel completo, seria simplesmente:

I = 1 2 2 m r 2

Passo 2

Então para um momento M aplicado sobre esse anel, a aceleração angular gerada seria:

M = I α

α = M I

α = M 1 2 m r 2 = 2 M m r 2

Resposta

A aceleração angular do anel é α = 2 M / m r 2 .

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