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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 12.Problemas de Revisão - Ex. 133

No momento do corte do motor principal, o ônibus tinha alcançado o ponto A numa altitude de 40 mi acima da superfície da Terra e tinha uma velocidade horizontal v0. Sabendo que sua primeira órbita foi elíptica e que o ônibus foi transferido para uma órbita circular quando passou pelo ponto B numa altitude de 270 km, determine (a) o tempo necessário para o ônibus viajar de A para B em sua órbita elíptica original, (b) o período do ônibus em sua órbita circular final.

Passo 1

Para Terra,

R = 6370   k m = 6370 × 10 3 m ,           g = 10   m / s ²

G M = g R 2 = 10 6370 × 10 3 2 = 6370 × 10 1 0   m ³ / s ²

(a)Para a órbita eliptica,

r A = 6437376   m

r B = 66465,9072 × 10 6   m

a = 1 2 r A + r B = 65541,7536 × 10 6 m

b = r A r B = 65411,604 × 10 6 m

Usando Eq. 13.39,

1 r A = G M h 2 + C c o s θ A

e

1 r B = G M r B 2 + C c o s θ B

Mas θ B = θ A + 180 ° ,   p o r t a n t o   c o s θ A = - c o s θ B

Adicionando,

1 r A + 1 r B = r A + r B r A r B = 2 a b 2 = 2 G M h 2

ou

h = G M b ² a

Passo 2

Tempo Periodico.

τ = 2 π a b h = 2 π a b a G M b 2 = 2 π a 3 / 2 G M  

τ = 2 π ( 21.5032 × 10 6 ) 3 / 2 14.077 × 10 15 = 5280.6   s = 1.4668   h  

O tempo de viajar de A para B é metade do tempo periodico

τ A B = 0.7334   h  

Passo 3

(b)Para a órbita circular,

a = b = r B = 21.4065 × 10 6 m  

t c i r c = 2 π a 3 / 2 G M = 2 π ( 21.4065 × 10 6 ) 3 / 2 14.077 × 10 15 = 5393   s

t c i r c = 1.498   h

Resposta

a :   τ A B = 44.0   m i n

b :   t c i r c = 89.9   m i n

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