Mostre que o raio r da órbita da Lua pode ser determinado pelo raio R da Terra, a aceleração da gravidade g na superfície da Terra e o tempo necessário para lua completar um volta em torno da Terra. Calcule r sabendo que 27,3 dias, dando a resposta no sistema internacional SI.

Passo 1

E ai gurizada tudo certinho? O enunciado pede que a gente determine o raio

Nós temos

F = G M m r 2                         [ E q .   12.28 ]

e

F = F n = m a n = m v ² r

Então

G M m r 2 = m v ² r

ou

v 2 = G M r

Agora

G M = g R 2                           [ E q .   12.30 ]

portanto

v 2 = g R ² r   o u   v = R g r

Para uma órbita,

τ = 2 π r v   = 2 π r R g r

ou

r = g τ ² R ² 4 π ²   1 / 3     Q . E . D   ◄

Passo 2

Agora

τ = 27.3   d i a s = 2.35872 × 10 6 s

R = 3960   m i = 20.9088 × 10 6 f t

SI:

r = 9.81   m / s ² × ( 2.35872 × 10 6 s ) ² × 6.37 × 10 6 m 2 4 π 2 1 / 3 = 382.81 × 10 6 m

Ou

r = 383 × 10 3 k m

Métrica Americana:

r = 9.81   m / s ² × ( 2.35872 × 10 6 s ) ² × 20.9088 × 10 6 f t 2 4 π 2 1 / 3 = 1256.52 × 10 6 m

Ou

r = 238 × 10 3 m i

Resposta

r = g τ ² R ² 4 π ²   1 / 3     Q . E . D

S I :   r = 383 × 10 3 k m

U S : r = 238 × 10 3 m i

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