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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 17.Problemas - Ex. 67

Mostre que a soma H A dos momentos sobre um Ponto A dos momentos das partículas de uma laje rígida em movimento plano é igual a I A ω , onde ω é a velocidade angular da laje no instante considerado e I A o momento de inércia da laje sobre A, se e somente se uma das seguintes condições for satisfeita: (a) A é o centro de massa da laje, (b) A é o centro instantâneo de rotação, (c) a velocidade de A é direcionado ao longo de uma linha que une o Ponto A e o centro de massa G.

Passo 1

O exercício pede que a gente determine a) A é o centro de massa da laje, (b) A é o centro instantâneo de rotação, (c) a velocidade de A é direcionado ao longo de uma linha que une o Ponto A e o centro de massa G.

Cinemática

Deixe:

ω = ω k

E

r G / A = r G / A < θ

Então

v G / A = ω × r G / A = ω r G A < β

Em que

β = θ + 90 ∘

Além disso

v ¯ = v A + v G / A

Defina

h = r G / A × v G / A

h = r G / A v G / A k = r G / A 2 ω k = r C / A 2 ω

Passo 2

Sistema momenta. Momentos sobre A

H A = r G A × m v → + I - ω = r G i d × m v A + v G / A + I → ω = r G / A × m v A + m x G / A × v G A + I ω ¯

= r G / A × m v A + m h + l ω = r G / A × m y A + m r G / j 2 ω + l - ω ¯ = r G A × m v A + m r G / A 2 + I - ω

Passo 3

O primeiro termo na direita é igual a zero se

(a) r G / A = 0 (A é o centro de massa)

Ou (b) v A = 0     (A é o centro instantâneo de rotação)

Ou (c) r G / A é perpendicular a v A

No segundo termo

m r G / A 2 + I → = I A

Pelo eixo paralelo do teorema. Então,

H A = I A ω

Se uma ou mais condições forem satisfeitas.

Resposta

(a) r G / A = 0

(b) v A = 0    

(c) r G / A

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