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Enunciado

Física - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 8.3 - Ex. 56

56. Um motor a gasolina, de quatro tempos e um único cilindro, com uma massa de 90   k g , está montado sobre quatro coxins elásticos duros, cada um com rigidez de 30 10 3 k N / m , e é projetado para operar a 3600   r p m . O sistema de sustentação está equipado com amortecedores viscosos, que possuem um coeficiente de amortecimento viscoso combinado c suficientemente grande para que o sistema seja criticamente amortecido quando recebe um deslocamento vertical e em seguida é liberado, enquanto não está trabalhando. Quando o motor está funcionando, ele inflama o combustível alternadamente, uma rotação sim, outra não, causando um deslocamento vertical periódico modelado por 1,2 ⋅ cos ⁡ ω t m m , com t em segundos. Determine o fator de amplificação M e o coeficiente de amortecimento total c .

Passo 1

Bom, primeiro a gente vai lembrar da fórmula da frequência natural de um sistema ω n , que segue abaixo:

ω n = k m

Onde k é a constante elástica da mola e m a massa do corpo.

ω n = 4 30 × 10 6 N / m 90   k g

ω n = 120 × 10 6 90  

ω n = 1,155 × 10 3   r a d / s

E lembremos que a fórmula do fator de amortecimento ζ tem a seguinte cara:

ζ = c 2 m ω n

Onde c é o fator de amortecimento.

Passo 2

Como foi dito que o sistema é criticamente amortecido, então:

ζ = 1

De modo que chegamos à:

c = 2 m ω n

c = 2 m k m

E é só substituir os valores para acharmos o valor de c , lembrando de multiplicar o valor de k por 4 , pois são 4 “molas” (coxins) que atuam:

c = 2 ( 90   k g ) 4 ( 30 × 10 6 N / m ) 90   k g

c = 180 120 × 10 6 90

c = 180 × 1,155 × 10 3   N ⋅ s / m

c = 208,85 × 10 3   N ⋅ s / m

Passo 3

Vamos calcular a frequência que o motor é operado, em r a d / s já que ele nos deu essa informação em r p m , por meio da fórmula:

ω   ( r a d / s ) = 1 2 ω   ( r p m ) ⋅ 2 π 60

ω = 1 2 3600 ⋅ 2 π 60

ω = 60 ⋅ π

ω = 188,5   r a d / s

Passo 4

Agora, a gente vai calcular o fator de amplificação M pela fórmula:

M = 1 1 - ω ω n 2 2 + 2 ζ ω ω n 2

M = 1 1 - 188,5 1155 2 2 + 2 ( 1 ) ( 188,5 ) 1155 2

M = 1 1 - 0,163 2 2 + 0,326 2

M = 1 1 - 0,026569 2 + 0,326 2

M = 1 0,973431 2 + 0,326 2

M = 1 0,947568 + 0,106276

M = 1 1,053844

M = 1 1,0266

M = 0,974

Resposta

O coeficiente de amortecimento c será:

c = 208,85 × 10 3   N ⋅ s / m

E o fator de amplificação M :

M = 0,974

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