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Enunciado

Física - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 8.3 - Ex. 55

55. Um sistema massa-mola com amortecimento viscoso é forçado harmonicamente na frequência natural não amortecida ( ω / ω n = 1 ). Se o fator de amortecimento ζ é duplicado de 0,1 para 0,2 , calcule a percentagem de redução R 1 na amplitude em regime permanente. Compare com o resultado R 2 de um cálculo semelhante para a condição ω / ω n = 2 . Verifique os seus resultados examinando a Fig. 8 / 11

Passo 1

Bom, primeiro a gente vai lembrar que a fórmula do fator de amplificação M é dada por:

M = 1 1 - ω ω n 2 2 + 2 ζ ω ω n 2

Onde ω é a frequência da força de excitação, ω n é a frequência natural do sistema e ζ é o fator de amortecimento.

Passo 2

Agora, a gente vai calcular um fator M 1 para um fator de amortecimento ζ = 0,1 e ω / ω n = 1 , conforme pede a questão:

M 1 = 1 1 - 1 2 2 + 2 0,1 1 2

M 1 = 1 0 2 + 0,2 2

M 1 = 1 0,04

M 1 = 1 0,2

M 1 = 5

E calcularemos um fator M 1 ' para um fator de amortecimento dobrado ( ζ = 0,2 ) e ω / ω n = 1 :

M 1 ' = 1 1 - 1 2 2 + 2 0,2 1 2

M 1 ' = 1 0 2 + 0,4 2

M 1 '   = 1 0,16

M 1 ' = 1 0,4

M 1 '   = 2,5

Passo 3

A porcentagem de redução R 1 na amplitude será feita pela seguinte regra de 3 . Olha só que beleza:

M 1 100 % = M 1 '   x %

5 100 % = 2,5   x %

x = 100 ⋅ 2,5 5   %

x = 50 %

E a redução R 1 é dada por:

R 1 = 100 % - x

R 1 = 100 % - 50 %

R 1 = 50 %

Passo 4

Agora, a gente vai calcular um fator M 2 para um fator de amortecimento ζ = 0,1 e ω / ω n = 2 :

M 2 = 1 1 - 2 2 2 + 2 0,1 2 2

M 2 = 1 ( - 3 ) 2 + 0,4 2

M 2 = 1 9 + 0,16

M 2 = 1 9,16

M 2 = 1 3,0265

M 2 = 0,330

E calcularemos um fator M 2 '   para um fator de amortecimento dobrado ( ζ = 0,2 ) e ω / ω n = 2 :

M 2 ' = 1 1 - 2 2 2 + 2 0,2 2 2

M 2 ' = 1 ( - 3 ) 2 + 0,8 2

M 2 ' = 1 9 + 0,64

M 2 ' = 1 9,64

M 2 ' = 1 3,1048

M 2 ' = 0,322

Passo 5

E por fim, vamos calcular a redução R 2 na amplitude, pela regra de 3 abaixo:

M 2 100 % = M 2 '   x %

0,330 100 % = 0,322   x %

x = 100 ⋅ 0,322 0,330   %

x = 97,58 %

De modo que obtemos o valor da redução R 2 como:

R 2 = 100 % - x

R 2 = 100 % - 97,58 %

R 2 = 2,42   %

Resposta

A redução percentual R 1 para o caso ω / ω n   = 1 será de:

R 1 = 50 %

Já a redução R 2 para o caso ω / ω n   = 2 será:

R 2 = 2,42 %

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