78- O operador da lixadeira de 3   k g aplica um torque M z e uma força adicional para baixo de 40   N sobre a lixadeira. Depois que o disco de lixamento é usado por algum tempo, o coeficiente de atrito entre o disco e a superfície lixada decai linearmente com a distância radial- de 0,80 até 0,50 na periferia do disco de 150   m m de diâmetro. Assuma que a pressão p sob o disco é constante e determine M z .

Passo 1

Dados da questão:

F = 40   N

r = 150 2 = 75   m m

p   é   c o n s t a n t e

E μ varia linearmente:

μ = μ 0 - k x

De modo que quando r é 150   m m μ vale 0.5 e quando x = 0 o μ vale 0.8 . Logo μ 0 = 0.8 .

Para r em metros temos:

0.5 = 0.8 - k 0.15 → k = 2

Logo a equação será:

μ = 0.8 - 2 r

E a pressão será:

p = F A = 3 × 9.81 + 40 π 0.15 2 = 982.23   P a

Passo 2

Logo a nossa equação de momento será:

M = ∫ μ p r d A = ∫ ∫ μ p r 2 d r   d θ

M = ∫ 0 0.15 ∫ 0 2 π 0.8 - 2 r × 982.23 × r 2   d r d θ

M = 2 π × 982.23 ∫ 0 0.15 0.8 r 2 - 2 r 3 d r

M = 6171.55 0.8 r 3 3 - 2 r 4 4 0 0.15 → 4   N m

Resposta

4   N m

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