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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 17.Problemas - Ex. 3

O paraboloide é formado girando-se a área sombreada em torno do eixo x . Determine o raio de giração k x . A densidade do material é ρ = 5 Mg/m3.

Passo 1

Iremos considerar um d x bem pequeno no eixo x . Sabemos que sabemos que d m = ρ . d V , então, para a figura dada, podemos considerar d m = ρ π   y 2   d x = ρ π 50 x d x .

Passo 2

Vamos encontrar o momento de inércia para o eixo x . Então,

I x = ∫ 1 2 y 2 d m = 1 2 ∫ 0 200 50 x π ρ 50 x d x =

= ρ π 50 2 6 200 3

Passo 3

Iremos calcular a massa, ou seja, m = ∫ d m = ∫ 0 200 π ρ 50 x d x = ρ π 50 2 200 2

Passo 4

Pela teoria, sabemos que k x = I x m . Então,

k x = ρ π 50 2 6 200 3 ρ π 50 2 200 2 = 50 3 200 = 57,7 mm

Resposta

k x = 57,7 mm

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