Uma partícula de massa m descreve uma trajetória definida pela equação r = r 0 sen θ   sob uma força central F voltada para o centro de força O. Mostre que F é inversamente proporcional àquinta potência da distância r da partícula ao centro de força O.

Passo 1

E ai gurizada tudo belezinha??? O enunciado pede que a gente mostre que F é inversamente proporcional àquinta potência da distância r da partícula ao centro de força O.

(a) Temos: d 2 u d θ + u = F m h ² u ²

Onde: u = 1 r   e m h 2 = c o n s t a n t e

F × u 2 = d ² u d θ ² + u

Agora: u = 1 r = 1 r 0 s i n θ

Então: d u d θ = 1 d θ 1 r 0   s i n θ = - 1   c o s θ r 0 s i n ² θ

E d ² u d θ ² = - 1 r 0 - s i n θ s i n 2 θ - c o s θ ( 2   s i n θ   c o s θ ) s i n 4 θ = 1 r 0 1   + c o s ² θ s i n ³ θ

Passo 2

Então: F + 1 r ² 1 r 0 1 + c o s ² θ s i n ³ θ + 1 r 0   s i n θ

= 1 r 0 1 r 2 1 + c o s ² θ s i n ³ θ + s i n ² θ s i n ³ θ = 2 r 0 1 r 2 1 s i n ³ θ                   s i n 3 θ = r r 0 ³ = 2 r 0 2 r 3

Resposta

F × 1 r 5

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